三角形數 一定數目的點或圓在等距離的排列下可以形成一個等邊三角形，這樣的數被稱為三角形數 。比如10個點可以組成一個等邊三角形 ，因此10是一個三角形數：
頭30個三角形數是1 , 3 , 6 , 10 , 15 , 21 , 28 , 36 , 45 , 55 , 66 , 78 , 91 , 105 , 120 , 136 , 153 , 171 , 190 , 210 , 231 , 253 , 276 , 300 , 325 , 351, 378, 406, 435, 465, ...（OEIS 數列A000217 ）。
三角數的二倍的平方根取整，是這個三角數的序數。
第n個三角形數的公式是
n
(
n
+
1
)
2
{\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}
第n個三角形數是從1開始的n個自然數的和 。
所有大於3的三角形數都不是質數 。
除了0，1，3 ，21 ，55 以外，三角形數不可能是費波那契數 。 [來源請求] 開始的n個立方數 的和是第n個三角形數的平方 （舉例：1 + 8 + 27 + 64 = 100 = 102 ）
所有三角形數的倒數 之和是2。
任何三角形數乘以8再加1是一個平方數 。
三角數的個位數字不可能是2、4、7、9，數字根 不可能是2、4、5、7、8。
一部分三角形數（3、10、21、36、55、78……）可以用以下這個公式 來表示：
n
∗
(
2
n
+
1
)
{\displaystyle n*(2n+1)}
n
∗
(
2
n
−
1
)
{\displaystyle n*(2n-1)}
一種檢驗正整數 x 是否三角形數的方法，是計算 ：
n
=
8
x
+
1
−
1
2
.
{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {8x+1}}-1}{2}}.}
如果n 是整數 ，那麼x 就是第n 個三角形數 。如果n 不是整數 ，那麼x 不是三角形數。這個檢驗法是基於恆等式
8
T
n
+
1
=
S
2
n
+
1
.
{\displaystyle 8T_{n}+1=S_{2n+1}.}
特殊的三角形數 [ 編輯 ] 55、5,050、500,500、50,005,000……都是三角形數。
第11個三角形數（66）、第1111個三角形數（617,716）、第111,111個三角形數（6,172,882,716）、第11,111,111個三角形數（61,728,399,382,716）都是回文 式的三角形數，但第111個、第11,111個和第1,111,111個三角形數不是。
同時為三角形數及普洛尼克數 的數（不定方程
x
(
x
+
1
)
=
y
(
y
+
1
)
2
{\displaystyle x(x+1)={\frac {y(y+1)}{2}}}
0 , 6 , 210 , 7140, 242556, 8239770,……[1] [2]
x
{\displaystyle x}
0 , 2, 14 , 84 , 492 , 2870,……（OEIS 數列A053141 ），對應的
y
{\displaystyle y}
3 , 20 , 119 , 696, 4059,……（OEIS 數列A001652 ）。 它與其他數的關係 [ 編輯 ] 外部連結 [ 編輯 ] 參考資料 [ 編輯 ] 
