平方

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y=x^2

代数中,一个平方是此数与它的本身相乘所得的乘积,一个元素平方是此元素与它的本身相乘所得的乘积,记作x2。平方也可視為求指數为2的的值。若x是正实数,这个乘积相当于一个边长为x正方形的面积;如果x虚数,则这个乘积为负数。如果x为非虛數的复数,则这个乘积也是复数。

如果实数y = x2,就说yx的平方;如果同時x是非负数,那么x就是y平方根。如果一个整数 n 是某个整数的平方,则称 n 为一个完全平方数或平方数。有理数的平方一定是有理数,无理数的平方可以是有理数,也可以是无理数。

平方和[编辑]

平方和通常指一些正整数的平方之和,整数的个数可以是有限个,也可以是无限多。 正整数的平方和公式如下:(可用数学归纳法证明)

1^2+2^2+3^2+4^2+5^2+6^2+...+n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}

證明:n=1時,1^2=\frac{1 \times 2 \times 3}{6}=1成立
n=2時,1^2+2^2=\frac{2 \times 3 \times 5}{6}=5成立
n=k時成立,即1^2+2^2+3^2+....+k^2=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}成立
n=k+1時,
1^2+2^2+3^2+....+k^2+(k+1)^2
=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+(k+1)^2
=\frac{(k+1)(2k^2+k)}{6}+\frac{6(k+1)^2}{6}
=\frac{(k+1)[(2k^2+k)+6(k+1)]}{6}
=\frac{(k+1)(2k^2+7k+6))}{6}
=\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}
=\frac{(k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1]}{6}
n=k+1時亦成立,原式得證。

也可以用组合数公式来推导这个公式。

參見[编辑]