冪

加法 (+)
減法 (−)
乘法 (×)
除法 (÷)
乘方 (^)
n 次方根 (√)
对数 (log)

bn
记号
	底数与指数

在数学中，重复连乘的运算叫做乘方，乘方的结果称为幂^[1]（英語：mathematical power，power）；由此，若 $n$ 為正整數， $n$ 个相同的数 $b$ 连续相乘（即 $b$ 自乘 $n$ 次），就可将 $b^{n}$ 看作乘方的结果 ——“幂”。

$b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}$

幂運算（exponentiation）又稱指數運算、取冪^[2]，是數學運算，表達式為 $b^{n}$ ，讀作「 $b$ 的 $n$ 次方」或「 $b$ 的 $n$ 次幂」。其中， $b$ 稱為底數，而 $n$ 稱為指數，通常指數寫成上標，放在底數的右邊。當不能用上標時，例如在編程語言或電子郵件中， $b^{n}$ 通常寫成 b^n 或 b**n；也可視為超運算，記為 b[3]n；亦可以用高德納箭號表示法，寫成 b↑n。

當指數為 1 時，通常不寫出來，因為運算出的值和底數的數值一樣；指數為 2 時，可以讀作“ $b$ 的平方”；指數為 3 時，可以讀作“ $b$ 的立方”。

由於在十进制中，十的冪很容易計算，只需在後面加零即可，所以科学记数法借此簡化記錄的數字；二的幂則在計算機科學中相當重要。

起始值 1（乘法的單位元）乘上底數（ $b$ ）自乘指數（ $n$ ）這麼多次^{[需要解释]}。這樣定義了後，很易想到如何一般化指數 0 和負數的情況：指數是零時，底數不為零，冪均為一（即除 0 外，所有數的 0 次方都是 1 ）；指數是負數時，就等於重複除以底數（或底數的倒數自乘指數這麼多次），即：

$b^{0}=1\qquad (b\neq 0)$

$b^{-n}={1 \over \underbrace {b\times \cdots \times b} _{n}}={\frac {1}{b^{n}}}=\left({\frac {1}{b}}\right)^{n}\qquad (b\neq 0)$ 。

若以分數為指數的冪，則定義：

$b^{\frac {n}{m}}={\sqrt[{m}]{b^{n}}}$ ，

即 $b$ 的 $n$ 次方再开 $m$ 次方根。

0的0次方（ $0^{0}$ ）目前沒有數學家給予正式的定義；在部分數學領域中，如組合數學，常用的慣例是定義為 1 ，也有人主張定義為 1 。

此外，當 $n$ 是複數，且 $b$ 是正實數時，

$b^{n}=\exp(n\ln(b))$

exp 是指數函數，而 ln 是自然對數。

重要的恆等式[编辑]

运算法则[编辑]

同底数幂相乘，底数不变，指数相加：

a^{m}\times a^{n}=a^{m+n}

同底数幂相除，底数不变，指数相减：

a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}

同指数幂相除，指数不变，底数相除( $b$ 不為0)：

{\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}

其他等式[编辑]

$x^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{x^{m}}}$
$x^{-m}={\frac {1}{x^{m}}}\qquad (x\neq 0)$
$x^{0}=1\qquad (x\neq 0)$
$x^{1}=x\,\!$
$x^{-1}={\frac {1}{x}}\qquad (x\neq 0)$

运算律[编辑]

加法和乘法存在交换律，比如： $2+3=5=3+2$ ， $2\times 3=6=3\times 2$ ，但是幂的运算不存在交换律， $2^{3}=8$ ，但是 $3^{2}=9$ 。

同样，加法和乘法存在结合律，比如： $(2+3)+4=9=2+(3+4)$ ， $(2\times 3)\times 4=24=2\times (3\times 4)$ 。不過，冪運算沒有結合律： $(2^{3})^{4}=8^{4}=4096$ ，而 $2^{(3^{4})}=2^{81}=2,417,851,639,229,258,349,412,352$ ，所以 $(2^{3})^{4}\neq 2^{(3^{4})}$ 。

但是冪運算仍然有其運算律，稱為指數律：

$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$
${\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}$
$a^{n}\cdot b^{n}=(a\cdot b)^{n}$
${\frac {a^{n}}{b^{n}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{n}$

整数指数幂[编辑]

整数指数幂的运算只需要初等代数的知识。

正整数指数幂[编辑]

表达式 $a^{2}=a\cdot a$ 被称作 $a$ 的平方，因为边长为 $a$ 的正方形面积是 $a^{2}$ 。

表达式 $a^{3}=a\cdot a\cdot a$ 被称作 $a$ 的立方，因为邊长为 $a$ 的正方体体积是 $a^{3}$ 。

所以 $3^{2}$ 读作「3的平方」， $2^{3}$ 读作「2的立方」。

指数表示的是底数反复相乘多少次。比如 $3^{5}=3\times 3\times 3\times 3\times 3=243$ ，指数是5，底数是3，表示3反复相乘5次。

或者，整数指数幂可以递归地定义成：

a^{n}={\begin{cases}1&(n=0)\\a\cdot a^{n-1}&(n>0)\\\left({\frac {1}{a}}\right)^{-n}&(n<0)\end{cases}}

指数是1或者0[编辑]

注意 $3^{1}$ 表示仅仅1个3的乘积，就等于3。

注意 $3^{5}=3\times 3^{4}$ ， $3^{4}=3\times 3^{3}$ ， $3^{3}=3\times 3^{2}$ ， $3^{2}=3\times 3^{1}$ ，

继续，得到 $3^{1}=3\times 3^{0}=3$ ，所以 $3^{0}=1$

另一个得到此结论的方法是：通过运算法则 ${\frac {x^{n}}{x^{m}}}=x^{n-m}$

当 $m=n$ 时， $1={\frac {x^{n}}{x^{n}}}=x^{n-n}=x^{0}$

任何数的1次方是它本身。

零的零次方[编辑]

$0^{0}$ 其实还并未被数学家完整的定义，但部分看法是 $0^{0}=1$ ，在程式语言中（python） $0**0=1$

在这里给出这一种极限的看法

$\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=0^{0}$ 于是，可以求出 x 取值从 1 到 0.0000001 计算得到的值，如图

负数指数[编辑]

我们定义任何不为 0 的数 a 的 -1 次方等于它的倒数。

a^{-1}={\frac {1}{a}}

对于非零 $a$ 定义

a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}

,

而 $a=0$ 时分母為 0 没有意义。

证法一：

根据定义 $a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$ ，当 $m=-n$ 时

a^{-n}\,a^{n}=a^{-n\,+\,n}=a^{0}=1,

得 $a^{-n}\,a^{n}=1$ , 所以 $a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}$ 。

证法二：

通过运算法则 ${\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$

当 $m=0$ 时，可得 $a^{-n}=a^{0-n}={\frac {a^{0}}{a^{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}$

负数指数 $a^{-n}$ 还可以表示成1连续除以 $n$ 个 $a$ 。比如：

3^{-4}={\frac {\frac {\frac {\frac {1}{3}}{3}}{3}}{3}}={\frac {1}{81}}={\frac {1}{3^{4}}}

.

特殊数的幂[编辑]

10的幂[编辑]

在十进制的计数系统中，10的幂写成1后面跟着很多个0。例如： $10^{3}=1000,\ 10^{-3}=0.001$

因此10的幂用来表示非常大或者非常小的数字。如：299,792,458（真空中光速，单位是米每秒），可以写成 $2.99792458\times 10^{8}$ ，近似值 $2.998\times 10^{8}$ 或 $3\times 10^{8}$

国际单位制词头也使用10的幂来描述特别大或者特别小的数字，比如：词头“千”就是 $10^{3}$ ，词头“毫”就是 $10^{-3}$

2的幂[编辑]

1的幂[编辑]

1的任何次幂都为1。

0的幂[编辑]

0的正数幂都等于0。

0的负数幂没有定义。

任何非0之数的0次方都是1；而0的0次方是懸而未決的，某些領域下常用的慣例是約定為1。^[3]但某些教科書表示0的0次方為無意義。^[4]也有人主張定義為1。

负1的幂[编辑]

-1的奇数幂等于-1

-1的偶数幂等于1

指数非常大时的幂[编辑]

一个大于1的数的幂趋于无穷大，一个小于-1的数的幂趋于负无穷大

当

a>1

，

n\to \infty

，

a^{n}\to \infty

当

a<-1

，

n\to \infty

，

a^{n}\to -\infty

或

\infty

, (視乎n 是奇數或偶數)

一个绝对值小于1的数的幂趋于0

当

|a|<1

，

n\to \infty

，

a^{n}\to 0

1的幂永远都是1

当

a=1

，

n\to \infty

，

a^{n}\to 1

如果数a趋于1而它的幂趋于无穷，那么极限并不一定是上面几个。一个很重要的例子是：

当

n\to \infty ,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\to e

参见e的幂

其他指数的极限参见幂的极限

正实数的实数幂[编辑]

一个正实数的实数幂可以通过两种方法实现。

有理数幂可以通过N次方根定义，任何非0实数次幂都可以这样定义
自然对数可以被用来通过指数函数定义实数幂

N次方根[编辑]

从上到下：

x^{\frac {1}{8}},\ x^{\frac {1}{4}},\ x^{\frac {1}{2}},\ x^{1},\ x^{2},\ x^{4},\ x^{8}

一个数 $a$ 的 $n$ 次方根是 $x$ ， $x$ 使 $x^{n}=a$ 。

如果 $a$ 是一个正实数， $n$ 是正整数，那么方程 $x^{n}=a$ 只有一个正实数根。这个根被称为 $a$ 的 $n$ 次方根，记作： ${\sqrt[{n}]{a}}$ ，其中 ${\sqrt {\ }}$ 叫做根号。或者， $a$ 的 $n$ 次方根也可以写成 $a^{\frac {1}{n}}$ . 例如 $4^{\frac {1}{2}}=2,\ 8^{\frac {1}{3}}=2$

当指数是 ${\frac {1}{2}}$ 时根号上的2可以省略，如： ${\sqrt {4}}=4^{\frac {1}{2}}={\sqrt[{2}]{4}}=2$

有理数幂[编辑]

有理数指数幂定义为

a^{\frac {m}{n}}=(a^{m})^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}

e的幂[编辑]

这个重要的数学常数e，有时叫做欧拉数，近似2.718，是自然对数的底。它提供了定义非整数指数幂的一个方法。它是从以下极限定义的：

e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}

指数函数的定义是：

e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}

可以很简单地证明e的正整数k次方 $e^{k}$ 是：

e^{k}=\left[\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}

=\lim _{n\to \infty }\left[\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}\right]^{k}

=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}

=\lim _{n\cdot k\to \infty }\left(1+{\frac {k}{n\cdot k}}\right)^{n\cdot k}

=\lim _{m\to \infty }\left(1+{\frac {k}{m}}\right)^{m}

实数指数幂[编辑]

y = b^x對各種底數b的圖像，分別為綠色的10、紅色的e、藍色的2和青色的1/2。

因为所有实数可以近似地表示为有理数，任意实数指数x可以定义成^[5]：

b^{x}=\lim _{r\to x}b^{r},

例如：

x\approx 1.732

于是

5^{x}\approx 5^{1.732}=5^{\frac {433}{250}}={\sqrt[{250}]{5^{433}}}\approx 16.241

实数指数幂通常使用对数来定义，而不是近似有理数。

自然对数 $\ln {x}$ 是指数函数 $e^{x}$ 的反函数。它的定义是：对于任意 $b>0$ ，满足

b=e^{\ln b}

根据对数和指数运算的规则：

b^{x}=(e^{\ln b})^{x}=e^{x\cdot \ln b}

这就是实数指数幂的定义：

b^{x}=e^{x\cdot \ln b}\,

实数指数幂 $b^{x}$ 的这个定义和上面使用有理数指数和连续性的定义相吻合。对于复数，这种定义更加常用。

负实数的实数幂[编辑]

如果 $a$ 是负数且 $n$ 是偶数，那么 $x=a^{n}$ 是正數。如果 $a$ 是负数且 $n$ 是奇数，那么 $x=a^{n}$ 是负数。

使用对数和有理数指数都不能将 $a^{k}$ （其中 $a$ 是负实数， $k$ 实数）定义成实数。在一些特殊情况下，给出一个定义是可行的：负指数的整数指数幂是实数，有理数指数幂对于 $a^{\frac {m}{n}}$ （ $n$ 是奇数）可以使用 $n$ 次方根来计算，但是因为没有实数 $x$ 使 $x^{2}=-1$ ，对于 $a^{\frac {m}{n}}$ （ $n$ 是偶数）时必须使用虚数单位 $i$ 。

使用对数的方法不能定义 $a\leq 0$ 时的 $a^{k}$ 为实数。实际上， $e^{x}$ 对于任何实数 $x$ 都是正的，所以 $\ln(a)$ 对于负数没有意义。

使用有理数指数幂来逼近的方法也不能用于负数 $a$ 因为它依赖于连续性。函数 $f(r)=a^{r}$ 对于任何正的有理数 $a$ 是连续的，但是对于负数 $a$ ，函数 $f$ 在有些有理数 $r$ 上甚至不是连续的。

例如：当 $a=-1$ ，它的奇数次根等于-1。所以如果 $n$ 是正奇数整数， $-1^{\frac {m}{n}}=-1$ 当 $m$ 是奇数， $-1^{\frac {m}{n}}=1$ 当 $m$ 是偶数。虽然有理数 $q$ 使 $-1^{q}=1$ 的集合是稠密集，但是有理数 $q$ 使 $-1^{q}=-1$ 的集合也是。所以函数 $-1^{q}$ 在有理数域不是连续的。

因此，如果要求负实数的任意实数幂，必须将底数和指数看成複數，按复数的正实数幂或复数的复数幂方法计算。

正实数的复数幂[编辑]

e的虚数次幂[编辑]

指数函数e^z可以通过(1 + z/N)^N当N趋于无穷大时的极限来定义，那么e^iπ就是(1 + iπ/N)^N的极限。在这个动画中n从1取到100。(1 + iπ/N)^N的值通过N重复增加在复数平面上展示，最终结果就是(1 + iπ/N)^N的准确值。可以看出，随着N的增大，(1 + iπ/N)^N逐渐逼近极限-1。这就是欧拉公式。

複數运算的几何意义和e的幂可以帮助我们理解 $e^{ix}$ （ $x$ 是实数），即純虛數指數函數。想象一个直角三角形 $(0,1,1+{\frac {ix}{n}})$ （括号内是复数平面内三角形的三个顶点），对于足够大的 $n$ ，这个三角形可以看作一个扇形，这个扇形的中心角就等于 ${\frac {x}{n}}$ 弧度。对于所有 $k$ ，三角形 $(0,(1+{\frac {ix}{n}})^{k},(1+{\frac {ix}{n}})^{k+1})$ 互为相似三角形。所以当 $n$ 足够大时 $(1+{\frac {ix}{n}})^{n}$ 的极限是复数平面上的单位圆上 $x$ 弧度的点。这个点的极坐标是 $(r,\theta )=(1,x)$ ，直角坐标是 $(\cos x,\sin x)$ 。所以 $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ ，而這個函數可以稱為純虛數指數函數。这就是欧拉公式，它通过複數的意义将代数学和三角学联系起来了。

等式 $e^{z}=1$ 的解是一个整数乘以 $2i\pi$ ^[6]：

\{z:e^{z}=1\}=\{2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.

更一般地，如果 $e^{b}=a$ ，那么 $e^{z}=a$ 的每一个解都可以通过将 $2i\pi$ 的整数倍加上 $b$ 得到：

\{z:e^{z}=a\}=\{b+2k\pi i:k\in \mathbb {Z} \}.

这个复指数函数是一个有周期 $2i\pi$ 的周期函数。

更简单的： $e^{i\pi }=-1;\ e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\sin y)$ 。

三角函数[编辑]

根据欧拉公式，三角函数余弦和正弦是：

\cos z={\frac {e^{i\cdot z}+e^{-i\cdot z}}{2}}\qquad \sin z={\frac {e^{i\cdot z}-e^{-i\cdot z}}{2\cdot i}}

历史上，在复数发明之前，余弦和正弦是用几何的方法定义的。上面的公式将复杂的三角函数的求和公式转换成了简单的指数方程

e^{i\cdot (x+y)}=e^{i\cdot x}\cdot e^{i\cdot y}.\,

使用了复数指数幂之后，很多三角学问题都能够使用代数方法解决。

e的复数指数幂[编辑]

$e^{x+iy}$ 可以分解成 $e^{x}\cdot e^{iy}$ 。其中 $e^{x}$ 是 $e^{x+iy}$ 的模， $e^{iy}$ 决定了 $e^{x+iy}$ 的方向

正实数的复数幂[编辑]

如果 $a$ 是一个正实数， $z$ 是任何复数， $a^{z}$ 定义成 $e^{z\cdot \ln(a)}$ ，其中 $x=\ln(a)$ 是方程 $e^{x}=a$ 的唯一解。所以处理实数的方法同样可以用来处理复数。

例如：

2^{i}=e^{i\cdot \ln(2)}=\cos {\ln 2}+i\cdot \sin {\ln 2}=0.7692+0.63896i

{{e}^{i}}=0.5403023+0.841471i

{{10}^{i}}=-0.6682015+0.7439803i

(e^{2\pi })^{i}=535.49^{i}=1

复数的复数幂[编辑]

複數的虚数幂[编辑]

让我们从一个简单的例子开始：计算 $\left(1+i\right)^{i}$ 。

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{i}&=\left[{\sqrt {2}}\left({\frac {\sqrt {2}}{2}}+{\frac {\sqrt {2}}{2}}i\right)\right]^{i}\\&=\left({\sqrt {2}}e^{{\tfrac {\pi }{4}}i}\right)^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}{\sqrt {2}}^{i}\\&=e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}+ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

其中 ${\sqrt {2}}^{i}$ 的得法参见上文正实数的复数幂

复数的复数幂[编辑]

类似地，在计算复数的复数幂时，我们可以将指数的实部与虚部分开以进行幂计算。例如计算 $\left(1+i\right)^{2+i}$ ：

${\begin{aligned}\left(1+i\right)^{2+i}&=\left(1+i\right)^{2}\left(1+i\right)^{i}\\&=2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\left(\cos {\frac {\ln 2}{2}}+i\sin {\frac {\ln 2}{2}}\right)\\&=-2e^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\sin {\frac {\ln 2}{2}}+2ie^{-{\tfrac {\pi }{4}}}\cos {\frac {\ln 2}{2}}\\\end{aligned}}$

一般情况[编辑]

复数的复数幂必须首先化为底数为 $e$ 的形式：

$w^{z}=e^{z\ln w}$

又，由复数的极坐标表示法：

$w=re^{i\theta }$

故

$w^{z}=e^{z\ln(w)}=e^{z(\ln(r)+i\theta )}$ 。

然后，使用欧拉公式处理即可。

由于复数的极坐标表示法中，辐角 $\theta$ 的取值是具有周期性的，因此复数的复数幂在大多数情况下是多值函数。不过实际应用中，为了简便起见，辐角都只取主值，从而使幂值唯一。

在函數中[编辑]

當函數名後有上標的數（即函數的指數），一般指要重複它的運算。例如 $f^{3}(x)$ 即 $f(f(f(x)))$ 。特別地， $f^{-1}(x)$ 指 $f(x)$ 的反函數。

但三角函数的情況有所不同，一個正指數應用於函數的名字時，指答案要進行乘方運算，而指數為-1時则表示其反函數。例如： $(\sin x)^{-1}$ 表示 $\csc x$ 。因此在三角函數時，使用 $\sin ^{-1}x$ 來表示 $\sin x$ 的反函數 $\arcsin x$ 。

计算自然数（正整数） $n$ 的 $a^{n}$ 的算法[编辑]

最快的方式计算 $a^{n}$ ，当 $n$ 是正整数的时候。它利用了测试一个数是奇数在计算机上是非常容易的，和通过简单的移所有位向右来除以2的事实。

在C/C++语言中，你可以写如下算法：

double power(double a, unsigned int n)
{
    double y = 1;
    double f = a;
    while (n > 0) {
       if (n % 2 == 1) y *= f;
       n >>= 1;
       f *= f;
    }
    return y;
}

此算法的時間複雜度為 $\mathrm {O} (\log n)\!$ ，比普通算法快（a自乘100次，時間複雜度為 $\mathrm {O} (n)\!$ ），在 $n$ 較大的時候更為顯著。

例如計算 $a^{100}$ ，普通算法需要算100次，上述算法則只需要算7次。若要計算 $a^{n}(n<0)$ 可先以上述算法計算 $a^{|n|}$ ，再作倒數。

另見[编辑]

迭代冪次

註釋[编辑]

^ 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江苏敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928. 自乘为幂
^ 存档副本. [2022-10-21]. （原始内容存档于2022-10-22）.
^ Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.
^ 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35：a的0次方=1(a≠0)(註：0的0次方為無意義)
^ Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.
^
This definition of a principal root of unity can be found in:
- Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7. Online resource （页面存档备份，存于互联网档案馆）
- Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6. Defined on page 351, available on Google books.
- "Principal root of unity （页面存档备份，存于互联网档案馆）", MathWorld.

外部連結[编辑]

指數的歷史

[1] 李迪. 中国数学通史: 宋元卷. 江苏敎育出版社. 1999: 294. ISBN 9787534336928. 自乘为幂

[2] 存档副本. [2022-10-21]. （原始内容存档于2022-10-22）.

[3] Augustin-Louis Cauchy, Cours d'Analyse de l'École Royale Polytechnique (1821). In his Oeuvres Complètes, series 2, volume 3.

[4] 康軒國中1上《FUN學練功坊①》P.35：a的0次方=1(a≠0)(註：0的0次方為無意義)

[Denlinger-5] Denlinger, Charles G. Elements of Real Analysis. Jones and Bartlett. 2011: 278–283. ISBN 978-0-7637-7947-4.

[6] This definition of a principal root of unity can be found in:
Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7. Online resource （页面存档备份，存于互联网档案馆）

Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6. Defined on page 351, available on Google books.

"Principal root of unity （页面存档备份，存于互联网档案馆）", MathWorld.

[7] Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms second. MIT Press. 2001. ISBN 0-262-03293-7. Online resource （页面存档备份，存于互联网档案馆）

[8] Paul Cull, Mary Flahive, and Robby Robson. Difference Equations: From Rabbits to Chaos Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. 2005. ISBN 0-387-23234-6. Defined on page 351, available on Google books.

[9] "Principal root of unity （页面存档备份，存于互联网档案馆）", MathWorld.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

冪

目录

重要的恆等式[编辑]

运算法则[编辑]

其他等式[编辑]

运算律[编辑]

整数指数幂[编辑]

正整数指数幂[编辑]

指数是1或者0[编辑]

零的零次方[编辑]

负数指数[编辑]

特殊数的幂[编辑]

10的幂[编辑]

2的幂[编辑]

1的幂[编辑]

0的幂[编辑]

负1的幂[编辑]

指数非常大时的幂[编辑]

正实数的实数幂[编辑]

N次方根[编辑]

有理数幂[编辑]

e的幂[编辑]

实数指数幂[编辑]

负实数的实数幂[编辑]

正实数的复数幂[编辑]

e的虚数次幂[编辑]

三角函数[编辑]

e的复数指数幂[编辑]

正实数的复数幂[编辑]

复数的复数幂[编辑]

複數的虚数幂[编辑]

复数的复数幂[编辑]

一般情况[编辑]

在函數中[编辑]

计算自然数（正整数） $n$ 的 $a^{n}$ 的算法[编辑]

另見[编辑]

註釋[编辑]

外部連結[编辑]

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冪

重要的恆等式[编辑]

运算法则[编辑]

其他等式[编辑]

运算律[编辑]

整数指数幂[编辑]

正整数指数幂[编辑]

指数是1或者0[编辑]

零的零次方[编辑]

负数指数[编辑]

特殊数的幂[编辑]

10的幂[编辑]

2的幂[编辑]

1的幂[编辑]

0的幂[编辑]

负1的幂[编辑]

指数非常大时的幂[编辑]

正实数的实数幂[编辑]

N次方根[编辑]

有理数幂[编辑]

e的幂[编辑]

实数指数幂[编辑]

负实数的实数幂[编辑]

正实数的复数幂[编辑]

e的虚数次幂[编辑]

三角函数[编辑]

e的复数指数幂[编辑]

正实数的复数幂[编辑]

复数的复数幂[编辑]

複數的虚数幂[编辑]

复数的复数幂[编辑]

一般情况[编辑]

在函數中[编辑]

计算自然数（正整数） n {\displaystyle n} 的 a n {\displaystyle a^{n}} 的算法[编辑]

另見[编辑]

註釋[编辑]

外部連結[编辑]

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计算自然数（正整数） $n$ 的 $a^{n}$ 的算法[编辑]