極限,即為一個數列
,使得
,其中
為一確定的常數,亦即數列
隨著
的增加而趨近於
。
设一數列
,若对于任意的正实数
,存在自然数
,使得對所有
,有

用符号来表示即

则称数列
收敛于

,记作

收斂數列[编辑]
其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。
數列極限的性質[编辑]
定理1(唯一性)[编辑]
若數列
的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29
- 证明
設數列
有兩個不相等的極限值
,則對任意的
,存在
,使得
時,恆有
,則接下來考慮 :

因此
,故極限唯一。[1]:29
定理2(有界性)[编辑]
若數列
有極限,則
有界,即
。
[1]:29-30
- 證明
因為
,所以對於
,
,使得
從而有
令
於是
即
有界。
注意有界數列不一定有極限,如數列
是一個有界數列,但沒有極限。
但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。
我們也可以根據定理二來作推論,如果一個數列無界,則知道這個數列一定發散。[1]:30
定理3(保序性)[编辑]
若
且
,則:30
[1]
- 證明:
已知


且
。取

由極限定義知:

,有

從而

,有

从而

所以當

時,有

即
[1]:30-31

數列的四則運算[编辑]
設
,
,則
;
;
- 若
,則
.
柯西數列[编辑]
参考文献列表[编辑]