極限 (數列)

極限，即為一個數列$\{a_{n}\}$，使得$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$，其中$L$為一確定的常數，亦即數列$\{a_{n}\}$隨著$n$的增加而趨近於$L$。

定義

设一數列$\{x_{n}\},\ x_{n}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ L\in \mathbb {R}$，若对于任意的正实数$\epsilon$，存在自然数$N$，使得對所有$n>N$，有

$$\left|x_{n}-L\right|<\epsilon$$

用符号来表示即

$$\forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N,\ |x_{n}-L|<\epsilon$$

则称数列$\{x_{n}\}$收敛于$L$，记作

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$$

收斂數列

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質

定理1（唯一性）

若數列$\left\{{x_{n}}\right\}$的極限存在，則極限是唯一的。

证明

設數列$\{x_{n}\}$有兩個不相等的極限值$a,\ b$,則對任意的$\epsilon >0$,存在$N\in \mathbb {N}$，使得 $m,n>N$ 時，恆有 $|x_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}},\quad |x_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}$ ，則接下來考慮 :

$$|a-b|=|(a-x_{n})-(b-x_{n})|\leq |a-x_{n}|+|b-x_{n}|<\epsilon$$

因此$a=b$，故極限唯一。

定理2（有界性）

若數列$\{x_{n}\}$有極限，則$\{x_{n}\}$有界，即 $\exists M>0,\forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M$ 。

證明

因為 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$，所以對於$\varepsilon =1$，$\exists N\in \mathbb {N}$，使得 $\forall n>N,|x_{n}-L|<\varepsilon =1$

從而有 $|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$

令 $M=\max(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{N}|,\ 1+|L|)$

於是 $\forall n\in \mathbb {N} ,|x_{n}|\leq M$

即$\{x_{n}\}$有界。

注意有界數列不一定有極限，如數列 $1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$ 是一個有界數列，但沒有極限。

但是當數列有界，存在一個遞增或是遞減的子數列的話，則可以證明，數列存在極限。

我們也可以根據定理二來作推論，如果一個數列無界，則知道這個數列一定發散。

定理3（保序性）

若$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a,\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$

且$a>b$，則 $\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,x_{n}>y_{n}$

證明：

已知

$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$$

$$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$$

且$a>b$。取

$$\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$$

由極限定義知：$\exists N_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{1}$，有

$$|x_{n}-a|<{\frac {a-b}{2}}$$

從而

$$x_{n}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$$

$\exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{2}$，有

$$|y_{n}-b|<{\frac {a-b}{2}}$$

从而

$$y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$$

所以當$n>N=\max(N_{1},\ N_{2})$時，有

$$y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$$

即

$$x_{n}>y_{n}$$

數列的四則運算

設$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，則

1. $\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\pm \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；
2. $\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；
3. 若$b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$,則$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{x_{n}}}{\lim _{n\to \infty }{y_{n}}}}$.

參看

• 级数
• 函数极限