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極限 (數列)」標題相近或相同的条目,請見「
极限」。
極限(英語:Limit)為某些數列才擁有的特殊值,當數列的下標越來越大的時候,數列的值也就越接近那個特殊值。
實數數列的極限[编辑]
從上面的定義可以證明,對實數數列
來說,若

則其極限
一定為实数 ,因為假設
的虛部
的話,則對上面的定義取
的話,會存在
,使得任意的
,只要
有

這是矛盾的,所以根據反證法,
,即
。
基本性質[编辑]
唯一性[编辑]
定理 — 若數列
的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29
有界性[编辑]
根據实质条件的意義,上面的定理等價於「如果一個實數數列無界,則這個實數數列一定發散。」[1]:30
注意有界數列不一定有極限,如數列
是一個有界數列,但沒有極限。
但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。
保序性[编辑]
證明
左至右:
取
,則由前提假設,存在
使任何
只要
就有


从而

故

這樣取
,左至右就得證。
右至左:
由前提假設,對任意的
,存在
使任何
只要
就有



从而

故得證。
四則運算定理[编辑]
設
,
,則
;
;
- 若
,則
.
審斂法[编辑]
其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。
柯西數列[编辑]
参考文献列表[编辑]