極限 (數列)

極限，即為一個數列 $\{a_{n}\}$ ，使得 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ，其中 $L$ 為一確定的常數，亦即數列 $\{a_{n}\}$ 隨著 $n$ 的增加而趨近於 $L$ 。

定義[编辑]

设一數列 $\{x_{n}\},\ x_{n}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ L\in \mathbb {R}$ ，

若对于任意的正实数 $\epsilon$ ，存在自然数 $N$ ，使得對所有 $n>N$ ，有 $|x_{n}-L|<\epsilon$ ，

用符号来表示即 $\forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N,\ |x_{n}-L|<\epsilon$

则称数列 $\{x_{n}\}$ 收敛于 $L$ ，记作 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ 。

收斂數列[编辑]

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質[编辑]

定理1（唯一性）若數列 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 的極限存在，則極限是唯一的。

   證：設數列 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 有兩個不相等的極限值 $a,\ b$ ，則對應於 $d=|a-b|>0$ ，並且可找到正數 $N$ ，使 $n>N$ 時，恆有
    $|x_{n}-a|<{\frac {d}{2}},\quad |x_{n}-b|<{\frac {d}{2}}$ ，
   從而 $|a-b|=|(a-x_{n})-(b-x_{n})|\leq |a-x_{n}|+|b-x_{n}|<d$ ，
   這與假設 $d=|a-b|$ 不符，
   故 $\{x_{n}\}$ 不可能以兩個不相等的數為極限。

定理2（有界性）若數列 $\{x_{n}\}$ 有極限，則 $\{x_{n}\}$ 有界，即 $\exists M>0$ ，使得 $\forall n\in \mathbb {N}$ ，有 $|x_{n}|\leq M$ .

   證：因為 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$ ，所以對於 $\varepsilon =1$ ， $\exists N\in \mathbb {N}$ ，使得當 $n>N$ 時有 $|x_{n}-L|<\varepsilon =1$ ，
   從而 $|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$ ，
   令 $M=\max(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{N}|,\ 1+|L|)$ ，於是 $\forall n\in \mathbb {N}$ ，有 $|x_{n}|\leq M$ ，即 $\{x_{n}\}$ 有界。

注意有界數列不一定有極限，如數列

$1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$

有界，但無極限。

如數列無界，則數列發散。

定理3（保序性）若 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ， $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$ ，且 $a>b$ ，則 $\exists N\in \mathbb {N}$ ，使得 $\forall n>N$ ，有 $x_{n}>y_{n}$ .

   證：已知 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ， $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$ ，且 $a>b$ 。取 $\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$ ，由極限定義知：
    $\exists N_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{1}$ ，有
                                      $|x_{n}-a|<{\frac {a-b}{2}}$ ，
   從而
                                      $x_{n}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$ 。
    $\exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{2}$ ，有
                                      $|y_{n}-b|<{\frac {a-b}{2}}$ ，
   從而
                                      $y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$ 。
   所以當 $n>N=\max(N_{1},\ N_{2})$ 時，有
                                      $y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$ ，
   即                                 $x_{n}>y_{n}$ 。