極限 (數列)

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極限,即為一個數列,使得,其中L為一確定的常數,亦即數列隨著n的增加而趨近於L

定義[编辑]

对于任意的正实数,存在自然数N,使得当n>N时,有

用符号来表示即

则称数列收敛记作

收斂數列[编辑]

其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂

數列極限的性質[编辑]

定理1(唯一性)若數列的極限存在,則極限是唯一的.

   證:設數列有兩個不相符的極限值a、b,則對應於,可找到正數,使時,恆有
   ,
   從而
   這與假設不符.
   故不可能以兩個不相等的數為極限.

定理2(有界性)若數列有極限,則有界,即,有.

   證:,所以對,當時有
                            ,
   從而
                            .
   令,於是,,有,即有界.

但有界數列不一定有極限,如數列

有界,但無極限.

如數列無界,則數列發散.

定理3(保序性)若,且,則,有.

   證:已知,且.取,由極限定義知:
   ,有
                                     ,
   從而
                                     .
   ,有
                                     ,
   從而
                                     .
   所以當時,有
                                     ,
   即                                            .

數列的四則運算[编辑]

,則

(1)

(2)

(3)若,則.

參看[编辑]