極限 (數列)

極限，即為一個數列 $\{a_{n}\}$ ，使得 $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ ，其中L為一確定的常數，亦即數列 $\{a_{n}\}$ 隨著n的增加而趨近於L。

定義[编辑]

设 $\{x_{n}\},x_{n}\in \mathrm {R} ,n=1,2,\ldots ,x_{0}\in \mathrm {R}$ ，

对于任意的正实数 $\epsilon$ ，存在自然数N，使得当n>N时，有 $|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$ ，

用符号来表示即 $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$

则称数列 $\{x_{n}\}$ 收敛于 $x_{0}$ ，记作 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ 。

收斂數列[编辑]

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質[编辑]

定理1（唯一性）若數列 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 的極限存在，則極限是唯一的.

   證：設數列 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 有兩個不相符的極限值a、b，則對應於 $d=\left|{a-b}\right|>0$ ，可找到正數 $N$ ，使 $n>N$ 時，恆有
    $\left|{{x_{n}}-a}\right|<{\frac {d}{2}}{\begin{array}{*{20}{c}},&{\left|{{x_{n}}-b}\right|}\end{array}}<{\frac {d}{2}}$ ，
   從而 $\left|{a-b}\right|=\left|{\left({a-{x_{n}}}\right)-\left({b-{x_{n}}}\right)}\right|\leq \left|{a-{x_{n}}}\right|+\left|{b-{x_{n}}}\right|<d.$ 
   這與假設 $d=\left|{a-b}\right|$ 不符.
   故 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 不可能以兩個不相等的數為極限.

定理2（有界性）若數列 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 有極限，則 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 有界，即 $\exists M>0,\forall n\in {\rm {N}}$ ，有 $\left|{x_{n}}\right|\leq M$ .

   證：應 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$ ，所以對 $\varepsilon =1$ ， $\exists N\in {\rm {N}}$ ，當 $n>N$ 時有
                             $\left|{{x_{n}}-{x_{0}}}\right|<\varepsilon =1$ ，
   從而
                             $\left|{x_{n}}\right|=\left|{{x_{n}}-{x_{0}}+{x_{0}}}\right|\leq \left|{{x_{n}}-{x_{0}}}\right|+\left|{x_{0}}\right|<1+\left|{x_{0}}\right|$ .
   令 $M=\max \left({\left|{x_{1}}\right|,\left|{x_{2}}\right|,\cdots ,\left|{x_{N}}\right|,1+\left|{x_{0}}\right|}\right)$ ，於是， $\forall n\in {\rm {N}}$ ，有 $\left|{x_{n}}\right|\leq M$ ，即 $\left\{{x_{n}}\right\}$ 有界.

但有界數列不一定有極限，如數列

$1,0,1,0,\cdots {\frac {1-{{\left({-1}\right)}^{n}}}{2}},\cdots$

有界，但無極限.

如數列無界，則數列發散.

定理3（保序性）若 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ， $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$ ，且 $a>b$ ，則 $\exists N\in {\rm {N}}$ ， $\forall n\in N$ ，有 ${x_{n}}>{y_{n}}$ .

   證：已知 $\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$ ， $\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$ ，且 $a>b$ .取 $\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$ ，由極限定義知：
    $\exists {N_{1}}\in {\rm {N}},\forall n>{N_{1}}$ ，有
                                      $\left|{{x_{n}}-a}\right|<{\frac {a-b}{2}}$ ，
   從而
                                      ${x_{n}}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$ .
    $\exists {N_{2}}\in {\rm {N}},\forall n>{N_{2}}$ ，有
                                      $\left|{{y_{n}}-b}\right|<{\frac {a-b}{2}}$ ，
   從而
                                      ${y_{n}}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$ .
   所以當 $n>N=\max \left({{N_{1}},{N_{2}}}\right)$ 時，有
                                      ${y_{n}}<{\frac {a+b}{2}}<{x_{n}}$ ，
   即                                             ${x_{n}}>{y_{n}}$ .