極限 (數列)

極限，即為一個數列$\{a_n\}$，使得$\lim_{n \to \infty}a_n=L$，其中L為一確定的常數，亦即數列$\{a_n\}$隨著n的增加而趨近於L。

定義

设$\{ x_n \}, x_n \in \mathrm R,n=1,2,\ldots,x_0 \in \mathrm R$，

对于任意的正实数$\epsilon$，存在自然数N，使得当n>N时，有 $|x_n-x_0 | < \epsilon$，

用符号来表示即 $\forall \epsilon >0 ,\exists N \in \mathbb N,\forall n>N,|x_n-x_0 | < \epsilon$

则称数列$\{ x_n \}$收敛于$x_0$，记作$\lim _{n \to \infty} x_n=x_0$。

收斂數列

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質

定理1（唯一性）若數列$\left\{ {{x_n}} \right\}$的極限存在，則極限是唯一的.

   證：設數列$\left\{ {{x_n}} \right\}$有兩個不相符的極限值a、b，則對應於$d = \left| {a - b} \right| > 0$，可找到正數$N$，使$n > N$時，恆有
   $\left| {{x_n} - a} \right| < \frac{d}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
,&{\left| {{x_n} - b} \right|}
\end{array} < \frac{d}{2}$，
   從而$\left| {a - b} \right| = \left| {\left( {a - {x_n}} \right) - \left( {b - {x_n}} \right)} \right| \le \left| {a - {x_n}} \right| + \left| {b - {x_n}} \right| < d.$
   這與假設$d = \left| {a - b} \right|$不符.
   故$\left\{ {{x_n}} \right\}$不可能以兩個不相等的數為極限.

定理2（有界性）若數列$\left\{ {{x_n}} \right\}$有極限，則$\left\{ {{x_n}} \right\}$有界，即$\exists M > 0,\forall n \in {\rm N}$，有$\left| {{x_n}} \right| \le M$.

   證：應$\lim _{n \to \infty} x_n=x_0$，所以對$\varepsilon  = 1$，$\exists N \in {\rm N}$，當$n > N$時有
                            $\left| {{x_n} - {x_0}} \right| < \varepsilon  = 1$，
   從而
                            $\left| {{x_n}} \right| = \left| {{x_n} - {x_0} + {x_0}} \right| \le \left| {{x_n} - {x_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right| < 1 + \left| {{x_0}} \right|$.
   令$M = \max \left( {\left| {{x_1}} \right|,\left| {{x_2}} \right|, \cdots ,\left| {{x_N}} \right|,1 + \left| {{x_0}} \right|} \right)$，於是，$\forall n \in {\rm N}$，有$\left| {{x_n}} \right| \le M$，即$\left\{ {{x_n}} \right\}$有界.

但有界數列不一定有極限，如數列

$1,0,1,0, \cdots \frac{{1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{2}, \cdots$

有界，但無極限.

如數列無界，則數列發散.

定理3（保序性）若$\lim _{n \to \infty} x_n=a$，$\lim _{n \to \infty} y_n=b$，且$a>b$，則$\exists N \in {\rm N}$，$\forall n \in N$，有${x_n} > {y_n}$.

   證：已知$\lim _{n \to \infty} x_n=a$，$\lim _{n \to \infty} y_n=b$，且$a>b$.取$\varepsilon  = \frac{{a - b}}{2} > 0$，由極限定義知：
   $\exists {N_1} \in {\rm N},\forall n > {N_1}$，有
                                     $\left| {{x_n} - a} \right| < \frac{{a - b}}{2}$，
   從而
                                     ${x_n} > a - \frac{{a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}$.
   $\exists {N_2} \in {\rm N},\forall n > {N_2}$，有
                                     $\left| {{y_n} - b} \right| < \frac{{a - b}}{2}$，
   從而
                                     ${y_n} > b + \frac{{a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}$.
   所以當$n > N = \max \left( {{N_1},{N_2}} \right)$時，有
                                     ${y_n} < \frac{{a + b}}{2} < {x_n}$，
   即                                            ${x_n} > {y_n}$.

數列的四則運算

設$\lim _{n \to \infty} x_n=a$，$\lim _{n \to \infty} y_n=b$，則

（1）$\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= \lim _{n \to \infty } {x_n} \pm \lim _{n \to \infty } {y_n}$；

（2）$\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = \lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot \lim _{n \to \infty } {y_n}$；

（3）若$b \ne 0,{y_n} \ne 0$,則$\lim _{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \frac{{\lim _{n \to \infty } {x_n}}}{{\lim _{n \to \infty } {y_n}}}$.

參看

• 極限