極限 (數列)

極限，即為一個數列$\{a_{n}\}$，使得$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$，其中$L$為一確定的常數，亦即數列$\{a_{n}\}$隨著$n$的增加而趨近於$L$。

定義

设一數列$\{x_{n}\},\ x_{n}\in \mathbb {R} ,\ n\in \mathbb {N} ,\ L\in \mathbb {R}$，

若对于任意的正实数$\epsilon$，存在自然数$N$，使得對所有$n>N$，有 $|x_{n}-L|<\epsilon$，

用符号来表示即 $\forall \epsilon >0,\ \exists N\in \mathbb {N} ,\ \forall n>N,\ |x_{n}-L|<\epsilon$

则称数列$\{x_{n}\}$收敛于$L$，记作$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$。

收斂數列

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質

定理1（唯一性）若數列$\left\{{x_{n}}\right\}$的極限存在，則極限是唯一的。

   證：設數列$\left\{{x_{n}}\right\}$有兩個不相等的極限值$a,\ b$，則對應於$d=|a-b|>0$，並且可找到正數$N$，使$n>N$時，恆有
   $|x_{n}-a|<{\frac {d}{2}},\quad |x_{n}-b|<{\frac {d}{2}}$，
   從而$|a-b|=|(a-x_{n})-(b-x_{n})|\leq |a-x_{n}|+|b-x_{n}|<d$，
   這與假設$d=|a-b|$不符，
   故$\{x_{n}\}$不可能以兩個不相等的數為極限。

定理2（有界性）若數列$\{x_{n}\}$有極限，則$\{x_{n}\}$有界，即$\exists M>0$，使得$\forall n\in \mathbb {N}$，有$|x_{n}|\leq M$.

   證：因為$\lim _{n\to \infty }x_{n}=L$，所以對於$\varepsilon =1$，$\exists N\in \mathbb {N}$，使得當$n>N$時有$|x_{n}-L|<\varepsilon =1$，
   從而$|x_{n}|=|(x_{n}-L)+L|\leq |x_{n}-L|+|L|<1+|L|$，
   令$M=\max(|x_{1}|,\ |x_{2}|,\cdots ,\ |x_{N}|,\ 1+|L|)$，於是$\forall n\in \mathbb {N}$，有$|x_{n}|\leq M$，即$\{x_{n}\}$有界。

注意有界數列不一定有極限，如數列

$1,\ 0,\ 1,\ 0,\cdots ,\ {\frac {1-(-1)^{n}}{2}},\cdots$

有界，但無極限。

如數列無界，則數列發散。

定理3（保序性）若$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，且$a>b$，則$\exists N\in \mathbb {N}$，使得$\forall n>N$，有$x_{n}>y_{n}$.

   證：已知$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，且$a>b$。取$\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$，由極限定義知：
   $\exists N_{1}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{1}$，有
                                     $|x_{n}-a|<{\frac {a-b}{2}}$，
   從而
                                     $x_{n}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$。
   $\exists N_{2}\in \mathbb {N} ,\forall n>N_{2}$，有
                                     $|y_{n}-b|<{\frac {a-b}{2}}$，
   從而
                                     $y_{n}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$。
   所以當$n>N=\max(N_{1},\ N_{2})$時，有
                                     $y_{n}<{\frac {a+b}{2}}<x_{n}$，
   即                                $x_{n}>y_{n}$。

數列的四則運算

設$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$，則

（1）$\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\pm \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；

（2）$\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$；

（3）若$b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$,則$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{x_{n}}}{\lim _{n\to \infty }{y_{n}}}}$.

參看

• 级数
• 極限