極限 (數列)

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極限,即為一個數列,使得,其中為一確定的常數,亦即數列隨著的增加而趨近於

定義[编辑]

设一數列,若对于任意的正实数,存在自然数,使得對所有,有

用符号来表示即
则称数列收敛,记作

收斂數列[编辑]

其中一個判斷數列是否收斂的定理,称为单调收敛定理,和實數完備性相關:單調有界數列必收斂,即是說,有上界的單調遞增數列,或是有下界的單調遞減數列,必然收斂。

數列極限的性質[编辑]

定理1(唯一性)[编辑]

若數列的極限存在,則極限是唯一的。[1]:29

证明

設數列有兩個不相等的極限值,則對任意的,存在,使得 時,恆有 ,則接下來考慮 :

因此,故極限唯一。[1]:29

定理2(有界性)[编辑]

若數列有極限,則有界,即

[1]:29-30

證明

因為 ,所以對於,使得

從而有

於是

有界。

注意有界數列不一定有極限,如數列 是一個有界數列,但沒有極限。

但是當數列有界,存在一個遞增或是遞減的子數列的話,則可以證明,數列存在極限。

我們也可以根據定理二來作推論,如果一個數列無界,則知道這個數列一定發散。[1]:30

定理3(保序性)[编辑]

,則:30

[1]

證明:

已知

。取

由極限定義知:,有

從而

,有

从而
所以當時,有
[1]:30-31

數列的四則運算[编辑]

,則

  1. ,則.

柯西數列[编辑]

参考文献列表[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 华东师范大学数学系. 数学分析 第四版 上册. 北京: 高等教育出版社. 2010年7月第4版. ISBN 978-7-04-029566-5. 

參看[编辑]