極限 (數列)

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微积分学
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相关数学家 牛顿 · 莱布尼兹 · 柯西 · 黎曼 拉格朗日 · 拉普拉斯 · 欧拉

極限，即為一個數列$\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$，使得$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$，其中L為一確定的常數，亦即數列$\{a_{n}\}$$\{a_{n}\}$隨著n的增加而趨近於L。

定義

设$\{x_{n}\},x_{n}\in \mathrm {R} ,n=1,2,\ldots ,x_{0}\in \mathrm {R}$$\{x_{n}\},x_{n}\in \mathrm {R} ,n=1,2,\ldots ,x_{0}\in \mathrm {R}$，

对于任意的正实数$\epsilon$$\epsilon$，存在自然数N，使得当n>N时，有 $|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$$|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$，

用符号来表示即 $\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$$\forall \epsilon >0,\exists N\in \mathbb {N} ,\forall n>N,|x_{n}-x_{0}|<\epsilon$

则称数列$\{x_{n}\}$$\{x_{n}\}$收敛于$x_{0}$$x_{0}$，记作$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$。

收斂數列

其中一個判斷數列是否收斂的定理，称为单调收敛定理，和實數完備性相關：單調有界數列必收斂，即是說，有上界的單調遞增數列，或是有下界的單調遞減數列，必然收斂。

數列極限的性質

定理1（唯一性）若數列$\left\{{x_{n}}\right\}$$\left\{ {{x_n}} \right\}$的極限存在，則極限是唯一的.

   證：設數列$\left\{{x_{n}}\right\}$$\left\{ {{x_n}} \right\}$有兩個不相符的極限值a、b，則對應於$d=\left|{a-b}\right|>0$$d = \left| {a - b} \right| > 0$，可找到正數$N$$N$，使$n>N$$n > N$時，恆有
   $\left|{{x_{n}}-a}\right|<{\frac {d}{2}}{\begin{array}{*{20}{c}},&{\left|{{x_{n}}-b}\right|}\end{array}}<{\frac {d}{2}}$$\left| {{x_n} - a} \right| < \frac{d}{2}\begin{array}{*{20}{c}}
,&{\left| {{x_n} - b} \right|}
\end{array} < \frac{d}{2}$，
   從而$\left|{a-b}\right|=\left|{\left({a-{x_{n}}}\right)-\left({b-{x_{n}}}\right)}\right|\leq \left|{a-{x_{n}}}\right|+\left|{b-{x_{n}}}\right|<d.$$\left| {a - b} \right| = \left| {\left( {a - {x_n}} \right) - \left( {b - {x_n}} \right)} \right| \le \left| {a - {x_n}} \right| + \left| {b - {x_n}} \right| < d.$
   這與假設$d=\left|{a-b}\right|$$d = \left| {a - b} \right|$不符.
   故$\left\{{x_{n}}\right\}$$\left\{ {{x_n}} \right\}$不可能以兩個不相等的數為極限.

定理2（有界性）若數列$\left\{{x_{n}}\right\}$$\left\{ {{x_n}} \right\}$有極限，則$\left\{{x_{n}}\right\}$$\left\{ {{x_n}} \right\}$有界，即$\exists M>0,\forall n\in {\rm {N}}$$\exists M > 0,\forall n \in {\rm N}$，有$\left|{x_{n}}\right|\leq M$$\left| {{x_n}} \right| \le M$.

   證：應$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$$\lim _{n\to \infty }x_{n}=x_{0}$，所以對$\varepsilon =1$$\varepsilon  = 1$，$\exists N\in {\rm {N}}$$\exists N \in {\rm N}$，當$n>N$$n > N$時有
                            $\left|{{x_{n}}-{x_{0}}}\right|<\varepsilon =1$$\left| {{x_n} - {x_0}} \right| < \varepsilon  = 1$，
   從而
                            $\left|{x_{n}}\right|=\left|{{x_{n}}-{x_{0}}+{x_{0}}}\right|\leq \left|{{x_{n}}-{x_{0}}}\right|+\left|{x_{0}}\right|<1+\left|{x_{0}}\right|$$\left| {{x_n}} \right| = \left| {{x_n} - {x_0} + {x_0}} \right| \le \left| {{x_n} - {x_0}} \right| + \left| {{x_0}} \right| < 1 + \left| {{x_0}} \right|$.
   令$M=\max \left({\left|{x_{1}}\right|,\left|{x_{2}}\right|,\cdots ,\left|{x_{N}}\right|,1+\left|{x_{0}}\right|}\right)$$M = \max \left( {\left| {{x_1}} \right|,\left| {{x_2}} \right|, \cdots ,\left| {{x_N}} \right|,1 + \left| {{x_0}} \right|} \right)$，於是，$\forall n\in {\rm {N}}$$\forall n \in {\rm N}$，有$\left|{x_{n}}\right|\leq M$$\left| {{x_n}} \right| \le M$，即$\left\{{x_{n}}\right\}$$\left\{ {{x_n}} \right\}$有界.

但有界數列不一定有極限，如數列

$1,0,1,0,\cdots {\frac {1-{{\left({-1}\right)}^{n}}}{2}},\cdots$$1,0,1,0, \cdots \frac{{1 - {{\left( { - 1} \right)}^n}}}{2}, \cdots$

有界，但無極限.

如數列無界，則數列發散.

定理3（保序性）若$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$，且$a>b$$a>b$，則$\exists N\in {\rm {N}}$$\exists N \in {\rm N}$，$\forall n\in N$$\forall n \in N$，有${x_{n}}>{y_{n}}$${x_n} > {y_n}$.

   證：已知$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$，且$a>b$$a>b$.取$\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0$$\varepsilon  = \frac{{a - b}}{2} > 0$，由極限定義知：
   $\exists {N_{1}}\in {\rm {N}},\forall n>{N_{1}}$$\exists {N_1} \in {\rm N},\forall n > {N_1}$，有
                                     $\left|{{x_{n}}-a}\right|<{\frac {a-b}{2}}$$\left| {{x_n} - a} \right| < \frac{{a - b}}{2}$，
   從而
                                     ${x_{n}}>a-{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$${x_n} > a - \frac{{a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}$.
   $\exists {N_{2}}\in {\rm {N}},\forall n>{N_{2}}$$\exists {N_2} \in {\rm N},\forall n > {N_2}$，有
                                     $\left|{{y_{n}}-b}\right|<{\frac {a-b}{2}}$$\left| {{y_n} - b} \right| < \frac{{a - b}}{2}$，
   從而
                                     ${y_{n}}<b+{\frac {a-b}{2}}={\frac {a+b}{2}}$${y_n} < b + \frac{{a - b}}{2} = \frac{{a + b}}{2}$.
   所以當$n>N=\max \left({{N_{1}},{N_{2}}}\right)$$n > N = \max \left( {{N_1},{N_2}} \right)$時，有
                                     ${y_{n}}<{\frac {a+b}{2}}<{x_{n}}$${y_n} < \frac{{a + b}}{2} < {x_n}$，
   即                                            ${x_{n}}>{y_{n}}$${x_n} > {y_n}$.

數列的四則運算

設$\lim _{n\to \infty }x_{n}=a$$\lim _{n \to \infty} x_n=a$，$\lim _{n\to \infty }y_{n}=b$$\lim _{n \to \infty} y_n=b$，則

（1）$\lim _{n\to \infty }\left({{x_{n}}\pm {y_{n}}}\right)=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\pm \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$$\lim _{n \to \infty} \left( {{x_n} \pm {y_n}} \right)= \lim _{n \to \infty } {x_n} \pm \lim _{n \to \infty } {y_n}$；

（2）$\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot {y_{n}}=\lim _{n\to \infty }{x_{n}}\cdot \lim _{n\to \infty }{y_{n}}$$\lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot {y_n} = \lim _{n \to \infty } {x_n} \cdot \lim _{n \to \infty } {y_n}$；

（3）若$b\neq 0,{y_{n}}\neq 0$$b \ne 0,{y_n} \ne 0$,則$\lim _{n\to \infty }{\frac {x_{n}}{y_{n}}}={\frac {\lim _{n\to \infty }{x_{n}}}{\lim _{n\to \infty }{y_{n}}}}$$\lim _{n \to \infty } \frac{{{x_n}}}{{{y_n}}} = \frac{{\lim _{n \to \infty } {x_n}}}{{\lim _{n \to \infty } {y_n}}}$.

參看

• 级数
• 極限