椭圆积分

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积分学中,椭圆积分最初出现于椭圆弧长有关的问题中。Guilio Fagnano欧拉是最早的研究者。现代数学将椭圆积分定义为可以表达为如下形式的任何函数 的积分

其中是其两个参数的有理函数是一个无重根的多项式,而是一个常数。

通常,椭圆积分不能用基本函数表达。这个一般规则的例外出现在有重根的时候,或者是,没有的奇数幂时。但是,通过适当的简化公式,每个椭圆积分可以变为只涉及有理函数和三个经典形式的积分。(也即,第一,第二,和第三类的椭圆积分)。

除下面给出的形式之外,椭圆积分也可以表达为勒让德形式Carlson对称形式。通过对施瓦茨-克里斯托费尔映射的研究可以加深对椭圆积分理论的理解。历史上,椭圆函数是作为椭圆积分的逆函数被发现的,特别是这一个:其中雅可比椭圆函数之一。

记法[编辑]

椭圆积分通常表述为不同变量的函数。这些变量完全等价(它们给出同样的椭圆积分),但是它们看起来很不相同。很多文献使用单一一种标准命名规则。在定义积分之前,先来检视一下这些变量的命名常规:

  • 模角;
  • 椭圆模;
  • 参数;

上述三种常规完全互相确定。规定其中一个和规定另外一个一样。椭圆积分也依赖于另一个变量,可以有如下几种不同的设定方法:

  • 幅度
  • 其中
  • ,其中雅可比椭圆函数之一

规定其中一个决定另外两个。这样,它们可以互换地使用。注意也依赖于。其它包含的关系有

后者有时称为δ幅度并写作。有时文献也称之为补参数,补模或者补模角。这些在四分周期中有进一步的定义。

第一类不完全椭圆积分[编辑]

第一类不完全椭圆积分 定义为

与此等价,用雅可比的形式,可以设 ;则

其中,假定任何有竖直条出现的地方,紧跟竖直条的变量是(如上定义的)参数;而且,当反斜杠出现的时候,跟着出现的是模角。 在这个意义下,,这里的记法来自标准参考书Abramowitz and Stegun

但是,还有许多不同的用于椭圆积分的记法。取值为椭圆积分的函数没有(象平方根正弦误差函数那样的)标准和唯一的名字。甚至关于该领域的文献也常常采用不同的记法。Gradstein, Ryzhik[1], .(8.111)]采用。该记法和这里的;以及下面的等价。

和上面的不同对应的是,如果从Mathematica语言翻译代码到Maple语言,必须将EllipticK函数的参数用它的平方根代替。反过来,如果从Maple翻到Mathematica,则参数应该用它的平方代替。Maple中的EllipticK()几乎和Mathematica中的EllipticK[]相等;至少当时是相等的。

注意

其中如上文所定义:由此可见,雅可比椭圆函数是椭圆积分的逆。

加法公式[编辑]

性质[编辑]

第一类不完全椭圆积分的导数[编辑]

第二类不完全椭圆积分[编辑]

第二类不完全椭圆积分

与此等价,采用另外一个记法(作变量替换),

其它关系包括

加法公式[编辑]


性质[编辑]

第二类不完全椭圆积分的导数[编辑]

第三类不完全椭圆积分[编辑]

第三类不完全椭圆积分

或者

或者

数字称为特征数,可以取任意值,和其它参数独立。但是要注意对于任意是无穷的。

加法公式[编辑]

第三类不完全椭圆积分的导数[编辑]

特殊值[编辑]

第一类完全椭圆积分[编辑]

第一类完全椭圆积分

如果幅度为或者,则称椭圆积分为完全的。 第一类完全椭圆积分可以定義为

或者

它是第一类不完全椭圆积分的特例:

这个特例可以表达为幂级数

它等价于

其中表示双阶乘。利用高斯的超几何函数,第一类完全椭圆积分可以表达为

第一类完全椭圆积分有时称为四分周期。它可以利用算术几何平均值來快速计算。

复数值[编辑]


特殊值[编辑]

其中

第一类完全椭圆积分满足

导数[编辑]

漸近表示[编辑]

這個近似在k<1/2時相對誤差小於3×10−4,若只保留前兩項則誤差在k<1/2時小於0.01

微分方程[编辑]

此函數滿足以下微分方程

此微分方程之另一解為,此解滿足以下關係。

.

第二类完全椭圆积分[编辑]

第二类完全椭圆积分

第二类完全椭圆积分 可以定义为

或者

它是第二类不完全椭圆积分的特殊情况:

它可以用幂级数表达

也就是

高斯超几何函数表示的话,第二类完全椭圆积分可以写作

有如下性质


复数值[编辑]

特殊值[编辑]


其中

导数、積分及微分方程[编辑]

此微分方程之另解為

第三类完全椭圆积分[编辑]

不同值的第三类完全椭圆积分

第三类完全椭圆积分可以定义为

注意有时第三类椭圆积分被定义为带相反符号的,也即

阿佩尔函数可表示为

第三类完全椭圆积分和第一类椭圆积分之间的关系

偏导数[编辑]

特殊值[编辑]

函數關係[编辑]

勒讓得闗係:

参看[编辑]

参考[编辑]