雅可比橢圓函數

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

數學中,雅可比橢圓函數是由卡爾·雅可比在1830年左右研究的一類橢圓函數。這類函數可用於之類的應用問題,並具有與三角函數相似的性質。

介紹[编辑]

雅可比矩形

雅可比橢圓函數有十二種,各對映到某個矩形的頂點連線。此諸頂點記作

視此矩形為複數平面的一部分, 是原點, 是實軸上的一點 稱作四分之一週期。

十二個橢圓函數分別記為 。為方便起見,取變數 意指矩形上的任一對頂點,則函數 是唯一滿足以下性質的週期亞純函數

  • 是單零點, 是單極點。
  • 方向的週期等於 距離的兩倍。對另兩個從 出發的方向,亦滿足同樣性質。
  • 在頂點 的展式首項係數均為一。

表列如次:

函數 週期 零點 極點 留數
是整數

一般而言,須以平行四邊形代替上述矩形,以考慮更一般的週期。

表為橢圓積分之逆[编辑]

以上定義略顯抽象,更具體的定義是將之表為某類橢圓積分(第一類不完全橢圓積分)之逆。設

橢圓正弦函數 sn u 定義為

而橢圓余弦函數 cn u 定義為

同理,椭圆德尔塔函数有

這裡的 是自由變元,通常取

剩下的九種橢圓函數能由這三種構造。

反函數[编辑]

雅可比椭圆函数的反函数可以像三角函数与反三角函数那样被定义。因为椭圆函数往往是椭圆积分之逆,这些反函数也都可以用勒让德椭圆积分来描述。如同反三角函数一样,雅可比椭圆函数的反函数也是多值的,因此需要支割线。以下是部分反函数的积分表达:

用Θ函數来定义[编辑]

雅可比椭圆函数也可以用Θ函數来定义。如果我们把简写为,把分别简写为(Theta常数),那么椭圆模k。如果我们设,我们便有:

加法定理[编辑]

由此可見 (cn,sn,dn) 描出射影空間 中兩個二次曲面之交,這同構於一條橢圓曲線。曲線上的運算由下列加法公式描述:

函数的平方之间的关系[编辑]

常微分方程的解[编辑]

三个基本的雅可比椭圆函数的导数为:

根据以上的加法定理,可知它们是以下非线性常微分方程的解:

  • 是微分方程的解;
  • 是微分方程的解;
  • 是微分方程的解。

图像[编辑]

JacobiSN.png
JacobiCN.png
JacobiDN plot.png

文獻[编辑]

  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. 1972. ISBN 0-486-61272-4.  第16章
  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson A Course of Modern Analysis, (1940, 1996) Cambridge University Press. ISBN 0-521-58807-3