施瓦茨-克里斯托费尔映射

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数学複分析中,施瓦茨—克里斯托费尔(Schwarz-Christoffel)映射複平面的变换,把上半平面共形地映射到一個多边形。施瓦茨—克里斯托费尔映射可用在位势论和其它应用,包括极小曲面流体力学中。施—克映射有一个缺陷,它无法较好的处理不规则几何图形和有孔的情况,这个问题已被伦敦皇家学院应用数学教授Darren Crowdy解决。施—克映射的名字取自埃尔温·布鲁诺·克里斯托费尔赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨

定义[编辑]

考虑複平面上一個多边形。黎曼映射定理指出存在一个一一对应解析映射f从上半平面

到多边形的內部。函数f把实数轴映射到多边形的邊。若多边形内角为,那么映射由下式给出:

其中常数平面的实轴上的点的值,对应平面上的多边形的顶点。这形式的变换称为施瓦茨—克里斯托费尔映射。

为了简便,通常会考虑一种特殊情況,就是当平面的无穷远点映射到平面的多边形其中一顶点(习惯是内角为的顶点)。如此,公式的第一个因式实际上是个常数,可以合併进裡。

例子[编辑]

考虑平面中的半无穷带。这可以视作顶点是, 三角形,当趋向无穷大的极限情形。极限时有。假设我们要找映射f,有f(−1) = Qf(1) = P,和f(∞) = R,那么f

计算积分得到

其中是个(複)积分常数。条件给出。因此施瓦茨—克里斯托费尔积分是。下图描绘这个映射。

从上半平面到半无穷带的施瓦茨—克里斯托费尔映射

其它简单映射[编辑]

三角形[编辑]

到内角为三角形的映射是

正方形[编辑]

从上半平面到正方形的映射是

其中是第一类不完全椭圆积分

广义三角形[编辑]

施瓦茨三角形映射把上半平面映射到其边是圆弧的三角形。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Tobin A. Driscoll and Lloyd N. Trefethen, Schwarz-Christoffel Mapping, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-80726-3.
  • Z. Nehari, Conformal Mapping, (1952) McGraw-Hill, New York.
  • Darren Crowdy,[1]Schwarz-Christoffel mappings to unbounded multiply connected polygonal regions,Math. Proc. Camb. Phil. Soc. (2007),142, 319.