魏爾斯特拉斯橢圓函數

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數學中,魏爾斯特拉斯橢圓函數又稱函數,是格外簡單的一類橢圓函數,也是雅可比橢圓函數的特殊形式。卡爾·魏爾斯特拉斯首先研究了這些函數。

Symbol for Weierstrass P function

魏爾斯特拉斯p函數的符號

定義[编辑]

固定 中的格 上線性無關),對應的魏爾斯特拉斯橢圓函數定義是

顯然右式只與格 相關,無關於基 之選取。 的元素也稱作週期。

另一方面,格 在取適當的全純同態 後可表成 ,其中 屬於上半平面。對於這種形式的格,

反之,由此亦可導出對一般的格之公式

在數值計算方面, 可以由Θ函數快速地計算,方程是

  • 在週期格中的每個點, 有二階极点
  • 是偶函數。
  • 複導函數 是奇函數。

加法定理[编辑]

假設 ,上式有一個較對稱的版本

此外

魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足複製公式:若 不是週期,則

微分方程與積分方程[编辑]

定義 (依賴於 )為

求和符號 意謂取遍所有非零的 。當 時,它們可由艾森斯坦級數 表示。

則魏爾斯特拉斯橢圓函數滿足微分方程

給出了從複環面 映至三次複射影曲線 的全純映射;可證明這是同構。

另一方面,將上式同除以 ,積分後可得

右側是複平面上的路徑積分,對不同的路徑 ,其積分值僅差一個 的元素;所以左式應在複環面 中考慮。在此意義下,魏爾斯特拉斯橢圓函數是某類橢圓積分之逆。

模判別式[编辑]

續用上節符號,模判別式 定義為下述函數

視為週期格的函數,這是權 12 之模形式。模判別式也可以用戴德金η函數表示。

文獻[编辑]

  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
  • K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
  • Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
  • E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部連結[编辑]