艾森斯坦級數

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數學中,艾森斯坦級數是一類可直接表成級數模形式,由費迪南·艾森斯坦首創。對於一般的約化群羅伯特·朗蘭茲也發展了相應的理論。

模群的艾森斯坦級數[编辑]

固定整數 。對上半平面上的複數 ,定義艾森斯坦級數

此級數是上半平面上的全純函數,此外它更是模群 的權 模形式。換言之,若 滿足 ,則

遞迴關係[编辑]

模形式理論中的一個基本事實是:模群 的模形式俱可表為 多項式。作為特例,以下說明如何將艾森斯坦級數遞迴地表成 的多項式。

,遂有下述關係式:

在此 二項式係數

函數 可以表示魏爾斯特拉斯 函數:

傅立葉展開[编辑]

。由於艾森斯坦級數是模群的模形式,故有傅立葉展開式

其中的傅立葉係數

此處的 伯努利數黎曼ζ函數,而 的正因數 次冪和。

,對 之和亦可化成蘭伯特級數

有時也會考慮常數項等於一的艾森斯坦級數:

拉馬努金公式[编辑]

拉馬努金給出了許多有趣的艾森斯坦級數關係式:定義

則有

文獻[编辑]

  • Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
  • Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0
  • Henryk Iwaniec, Spectral Methods of Automorphic Forms, Second Edition, (2002) (Volume 53 in Graduate Studies in Mathematics), America Mathematical Society, Providence, RI ISBN 0-8218-3160-7 (See chapter 3)
  • Jean-Pierre Serre, A course in arithmetic. Translated from the French. Graduate Texts in Mathematics, No. 7. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1973.