埃尔米特插值

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不少实际的插值问题不但要求在节点上的函数值相等,而且还要求对应的导数值也相等,甚至要求高阶导数也相等,满足这种要求的插值多项式就是埃尔米特插值多项式

概述[编辑]

埃尔米特插值是另一类插值问题,这类插值在给定的节点处,不但要求插值多项式的函数值与原函数值相同。同时还要求在节点处,插值多项式的一阶直至指定阶的导数值,也与被插函数的相应阶导数值相等,这样的插值称为埃尔米特(Hermite)插值。 Hermite插值在不同的节点,提出的插值条件个数可以不同,若在某节点,要求插值函数多项式的函数值,一阶导数值,直至阶导数值均与被插函数的函数值相同及相应的导数值相等。我们称重插值点节,因此,Hermite插值应给出两组数,一组为插值点节点,另一组为相应的重数标号
,这就说明了给出的插值条件有个,为了保证插值多项式的存在唯一性,这时的Hermite插值多项式应在上求得,于是可作如下定义。

定义[编辑]

上充分光滑函数,对给定的插值定节,及相应的重数标号时,若有满足


则称关于节点及重数标号的Hermite插值多项式。

二重Hermite插值多项式[编辑]

常用的Hermite插值为mi=2 的情况,即给定的插值节点{xi}ni=0 均为二重节点,更具体些,,及插值节点{xi}ni=0,若有 满足

,就称H2n + 1(x)为f(x) 关于节点{xi}ni=0 的二重Hermite插值多项式。

唯一性定理[编辑]

f(x)关于节点{xi}ni=0二重Hermite插值多项式存在且唯一。

误差定理[编辑]

,则为f(x)关于上节点{xi}ni=0二重Hermite插值多项式误差为

这里

min{x0,x1,...,xn,x}≤ξ=ξ(x)≤max{x0,x1,...,xn,x}

参考文献[编辑]

  • 韩丹夫,吴庆标.数值计算方法.浙江:浙江大学出版社,2006.6.
  • Michelle Schatzman (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction, Chapter 4. Clarendon Press, Oxford. ISBN 0-19-850279-6.
  • Endre Süli and David Mayers (2003). An Introduction to Numerical Analysis, Chapter 6. Cambridge University Press. ISBN 0-521-00794-1.