乘积法则

维基百科,自由的百科全书
跳转至: 导航搜索

乘积法则,也称为莱布尼兹法则,是数学中关于两个函数的導數的一个计算法则。

若已知两个可導函数及其导数,则它们的积的导数为:

這個法則可衍生出积分分部積分法

莱布尼兹的发现[编辑]

这个法则是莱布尼兹发现的,以下是他的证明:设u(x)和v(x)为x的两个可导函数。那么,uv的微分是:

由于du·dv可以忽略不计,因此有:

两边除以dx,便得:

例子[编辑]

  • 假设我们要求出f(x) = x2 sin(x)的导数。利用乘积法则,可得f'(x) = 2x sin(x) + x2cos(x)(这是因为x2的导数是2x,sin(x)的导数是cos(x))。
  • 乘积法则的一个特例,是“常数因子法则”,也就是:如果c实数f(x)是可微函数,那么cf(x)也是可微的,其导数为(c × f)'(x) = c × f '(x)。
  • 乘积法则可以用来推出分部积分法除法定则

证明一:利用面积[编辑]

假设

fgx点可导。那么:

现在,以下的差

是图中大矩形的面积减去小矩形的面积。

Regladelproducte.png

这个区域可以分割为两个矩形,它们面积的和为:

因此,(1)的表达式等于:

如果(5)式中的四个极限都存在,则(4)的表达式等于:

现在:

因为当wx时,f(x)不变;

因为gx点可导;

因为fx点可导;以及

因为gx点连续(可导的函数一定连续)。

现在可以得出结论,(5)的表达式等于:

证明二:使用对数[编辑]

f = uv,并假设uv是正数。那么:

两边求导,得:

把等式的左边乘以f,右边乘以uv,即得:

证明三:利用复合函数求导法则[编辑]

乘积法则可以视为多元复合函数求导法则的一个特例。

证明四:使用导数的定义[编辑]

fgx点可导。那么:

.

推廣[编辑]

  • 若有个函数,则:
  • 萊布尼茲法則)若均為可導次的函數,則次導數為:

其中二項式係數

应用[编辑]

乘积法则的一个应用是证明以下公式:

其中n是一个正整数(该公式即使当n不是正整数时也是成立的,但证明需要用到其它方法)。我们用数学归纳法来证明这个公式。如果n = 0,那么xn是常数,因此nxn − 1 = 0。假设公式对于某个特定的n成立,那么对于n + 1,我们有:

因此公式对于n + 1也成立。

参见[编辑]