芝诺悖论

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芝诺悖论古希腊数学家芝诺(Zeno of Elea)(盛年约在公元前464-前461)提出的一系列关于运动的不可分性的哲学悖论。这些悖论由于被记录在亚里士多德的《物理学》一书中而为后人所知。芝诺提出这些悖论是为了支持他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说。这些悖论是芝诺反对存在运动的论证其中最著名的两个是:“阿基里斯追乌龟”和“飞矢不动”。這些方法現在可以用微積分(無限)的概念解釋。

两分法悖论[编辑]

这裡的“运动”不是距离的概念,而是速度的概念。从A点到B点的运动不仅仅涉及到距离,并且涉及到时间。从A到B的运动如果发生在无限长的时间内,那么悖论就为真,因为此时速度为0。

速度这个概念虽然可以被表示为距离除以时间,但是速度是一个自然界的固有概念,并不依赖于时间和距离。所以庄子的万世不竭反倒成为一个真实的叙述,而不是悖论。

阿基里斯悖论[编辑]

常見的敘述為追著烏龜的阿基里斯,本悖論因此得其名。

如柏拉图描述,芝诺说这样的悖论,是兴之所至的小玩笑。首先,巴门尼德编出这个悖论,用来嘲笑“数学派”所代表的毕达哥拉斯的“1>0.999..., 1-0.999...>0”思想。然后,他又用这个悖论,嘲笑他的学生芝诺的“1=0.999..., 但1-0.999...>0”思想。最后,芝诺用这个悖论,反过来嘲笑巴门尼德的“1-0.999...=0, 或1-0.999...>0”思想。

悖論的解決[编辑]

理論說得頭頭是道,但為何實際卻不是如此? 原因見下。

不妨令阿基里斯步行的速度為每秒10m, 烏龜爬行的速度為每秒0.1m, 並且在比賽之前, 阿基里斯讓烏龜先爬999m, 在這種條件下, 阿基里斯追趕烏龜所用的時間為:

 999 ÷ 10 = 99.9秒
 (99.9 × 0.1) ÷ 10 = 0.999秒
 (0.999 × 0.1) ÷ 10 = 0.00999秒
 · · · · · ·

這些數字, 按其先後排列, 可以構成一個無限序列:

 99.9, 0.999, 0.00999, · · ·
 
 其和為:S = 99.9/(1 −1/100) = 100.909090...秒

所以其實阿基里斯只要跑101秒,即可超越烏龜。
換個角度說,阿基里斯之所以追不上烏龜,原因在題目的背面---小前提「由於追趕者首先應該達到被追者出發之點,此時被追者已經往前走了一段距離。」---已經限制了阿基米斯追趕的距離。
因此會得到無限的時間序列。

求極限值[编辑]

追乌龟亦涉及到极限是否存在的問題。譬如说,阿基里斯的速度改為10m/s,乌龟的速度是1m/s,乌龟原先在阿基里斯前面9m。進行上述步驟後,總共所花的時間應表示為

其一,關於极限這个无限过程的意義,涉及到实无限英语Actual infinity潜无限英语Actual infinity(potential infinity)的討論。潜无限的性質是无限过程无法完成,故上述級數雖然能无限逼近1,但不能說是等於1──故沒有一個時間點(若有,必須是1)能代表乌龟被追上的時間。在潜无限的框架下,可以假设空间無法无限分割,如此一來此悖论就不存在了。但实无限的理論是,无限过程可以完成,即逼近的過程與其极限等價,故乌龟可以追上。現在的实数,极限,微积分都建立在实无限上。对潜无限来说,实数,极限等都不成立,只能无限逼近。

其二,關於要如何找到該無限過程的極限,歐拉曾提出「」之證明如下:

兩式相減可得:

歐拉一生中曾多次在其理論中進行這類極限的運算,然而他未能解釋極限的存在性與加減乘除等運算,可謂有著邏輯上的漏洞。而近代數學的極限、實數等概念正能填其邏輯漏洞。

飞矢不动悖论[编辑]

但由於箭要達到每一時刻的固定位置必須存在動能,所以箭必須是運動狀態

這個悖論的問題在于,「飛行」的運動,是依賴于兩個時間點的。即從這一刻到那一刻的時間內,這支箭是否移動。

游行队伍悖论[编辑]

首先假設在操場上,在一瞬間(一个最小时间单位)裡,相对于观众席A,列队B、C将分别各向右和左移动一个距离单位。

 AAAA 观众席A
 BBBB 队列B・・・向右移动(→)
 CCCC 队列C・・・向左移动(←)

B、C两个列队开始移动,如下图所示相对于观众席A,B和C分别向右和左各移动了一个距离单位。

 AAAA
  BBBB
CCCC

而此时,对B而言C移动了两个距离单位。也就是,队列既可以在一瞬间(一个最小时间单位)裡移动一个距离单位,也可以在半个最小时间单位裡移动一个距离单位,这就产生了半个时间单位等于一个时间单位的矛盾。因此队列是移动不了的。

(四个悖论的叙述引自莫里斯·克萊因《古今数学思想》中译本,Bill Smith对第四个悖论的原文作了修改以说得更清楚些。)

芝諾現象[编辑]

在一個跟時間有關的系統中,如果牽涉到有限時間內,無限多次的操作,我們會稱之芝諾現象或芝諾行為。一個簡單的例子是球在地面上反彈到停止的過程。處理這個問題的方法,是直接假設停止的時間點,只考慮反彈,不去考慮無窮多次,以計算無窮多次反彈之後的結果。