乌鸦悖论

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一只黑乌鸦
非黑非乌鸦

乌鸦悖论,也叫做亨佩尔的乌鸦亨佩尔悖论,是1940年代德国逻辑学家卡尔·古斯塔夫·亨佩尔Carl Gustav Hempel)为了说明归纳法违反直觉而提出的一个悖论

问题的综述[编辑]

几千年以来,无数人观察了许多事务,比如地心引力法则,人们趋于相信其极可能是真理。这种类型的推理可以总结成“归纳法原理”:

如果实例 X 被观察到和论断 T 相符合,那么论断 T 正确的概率增加。

亨佩尔给出了归纳法原理的一个例子: “所有乌鸦都是黑色的”论断。我们可以出去观察成千上万只乌鸦,然后发现他们都是黑的。在每一次观察之后,我们对“所有乌鸦都是黑的”的信任度会逐渐提高。归纳法原理在这里看起来合理的。

现在问题出现了。“所有乌鸦都是黑的” 的论断在逻辑上和“所有不是黑的东西不是乌鸦”等价。如果我们观察到一只苹果,它不是黑的,也不是乌鸦,那么这次观察必会增加我们对“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度,因此更加确信“所有的乌鸦都是黑的”!这个问题被总结成:

余未嘗見有紫牛
然苟余或遇其一,
則云烏鴉俱黑者,
豈其益發可信兮?

I never saw a purple cow
But if I were to see one
Would the probability ravens are black
Have a better chance to be one?

(改寫自吉利特·伯吉斯en:Gelett Burgess)的诗)

解决提議[编辑]

解决它和直觉的冲突,哲学家们提出了一些方法。美国逻辑学家纳尔逊·古德曼en:Nelson Goodman)建议对我们的推理添加一些限制,比如永远不要考虑支持论断“所有P满足Q”且同时也支持“没有P满足Q” 的实例。

其他一些哲学家质疑“等价原理”。也许红苹果能够增加我们对论断“所有不是黑的东西不是乌鸦”的信任度,而不增加我们对 “所有乌鸦都是黑色的”信任。这个提议受到质疑,因为你不能对等价的两个命题有不同的信任度,如果你知道他们都是真的或都是假的。

古德曼,以及其后的威拉德·冯·奥曼·蒯因,使用术语「projectible predicate」来描述这些类似于「乌鸦」和「黑色」的命题,所有这类命题是支持归纳推理法的;而「非projectible predicate」则为与只相反的后者,如「非黑」和「非乌鸦」这些命题并不支持归纳推理法。蒯因还提出一个需要证实的猜想:如果任何命题是projectible的;在无限物件组成的全集中,一个projectible的命题的补集永远是非projectible的。

这样一来,虽然「所有乌鸦都是黑的」和「所有不是黑的东西都不是乌鸦」这两个命题所拥有的信任度必须相等,但只有「黑色的乌鸦」才能同时增加两者的信任度,而「非黑色的非乌鸦」并不增加任何一个命题的信任度。

还有些哲学家认为其实这个命题是完全正确的,出错的是我们自己的逻辑。其实观察到一个红色的苹果确实会增加乌鸦都是黑色的可能性!这就相当于:如果有人把宇宙中所有不是黑的物体都给你看,而你发现所有的物体都不是乌鸦,那你就完全可以断定所有乌鸦都是黑的了。这个「悖论」看上去荒谬只是因为宇宙中「不是黑的」物体远远多于「乌鸦」,所以发现一个「不是黑的」物体只增加了极其微小的对于「乌鸦都是黑的」的信任度,而相对而言,每发现一只黑的乌鸦就是一个有力的证据了。

贝叶斯定理[编辑]

除了以上的陈述以外,「归纳法原理」还有另一种形式,就是贝叶斯推理

X 为支持论断 T 的一个实例,而 I 表示我们所有的已知信息。

\Pr(\bullet | \circ) 表示论断 T 成立的几率,已知 XI 都是成立的,可以推得,

\Pr(T|XI) = \frac{\Pr(T|I) \cdot \Pr(X|TI)}{\Pr(X|I)}

这里 Pr(T | I) 表示在只有 I 是已知成立的情况下,T 成立的几率;Pr(X | TI) 表示在 TI 都已知成立的情况下,X 成立的几率;而 Pr(X | I) 表示在只有 I 是已知成立的情况下,X 成立的几率。

利用这个原理,这个悖论就不会出现了。如果有人随机选一个「苹果」,那么他看到一个红苹果的几率和「乌鸦」的颜色是完全没有关系的。这时分子等于分母,所以分数等于1,所以以上讨论的几率不会改变。所以看见一只红色的苹果不会增加人们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

而如果那人是随机选择一个非黑的「物件」,那个物件正好是一个红的苹果,那么我们对得到一个分子大于分母的,几乎等于一的假分数。所以在这个情况下,看见一只红苹果确实会极微小地增加我们对「乌鸦都是黑色的」的信任度。

其实,随着一个人看到的不是黑色的东西的增加(并发现其中没有乌鸦),「乌鸦都是黑色的」的几率会趋向于1。

参见[编辑]

参考书目[编辑]

  • Hempel, C. G. A Purely Syntactical Definition of Confirmation. J. Symb. Logic 8, 122-143, 1943.
  • Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. Mind 54, 1-26, 1945.
  • Hempel, C. G. Studies in Logic and Confirmation. II. Mind 54, 97-121, 1945.
  • Hempel, C. G. Studies in the Logic of Confirmation. In Marguerite H. Foster and Michael L. Martin,eds. Probability, Confirmation, and Simplicity. New York: Odyssey Press, 1966. Pp 145-183
  • Falletta, Nicholas. The Paradoxicon: a Collection of Contradictory Challenges, Problematical Puzzles, and Impossible Illustrations. 1983. Pp 126-131. ISBN 0385179324

外部链接[编辑]