柯里悖论

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柯里悖论(Curry's paradox)[1]是一种悖论,由美国数理逻辑学家哈斯凯尔·布鲁克·柯里提出,并且以其命名。它也與马丁·雨果·洛布英语Martin Löb洛布定理英语Löb's theorem有关,故也被称为洛布悖论[2]

简介[编辑]

对于这样一个条件语句 C:「若C,則F」, 只需要一些显然无害的逻辑推导规则, 就可以推导出:仅从句子C的存在就证明了任意主张F。由于F是任意的,因此遵循这些逻辑规则的任何逻辑系统都可以证明所有命题, 这就引起矛盾(见:柯里悖论#自然语言论证), 违反了经典逻辑的无矛盾律;因此,这是一个悖论

当今哲学家所使用的“柯里悖论”一词,指的是一类多样化的悖论,具有自指性(self-reference)或循环性(circularity),并且其悖论根源的发现可追溯到柯里(1942)[3]和洛布(1955)[4]的贡献。

该悖论可以用自然语言和各种形式逻辑来表达,包括集合论λ演算组合逻辑的某些形式。所有可以称为“柯里悖论”的悖论共同特征是,它们以连接词或谓词形式利用蕴涵,蕴含或结果的概念。[1]

分类[编辑]

弗兰克·普伦普顿·拉姆齐于1925年最早把逻辑悖论(Logical Paradox)同语义悖论(Semantical Paradox)区别开来。罗素悖论属于前一类,说谎者悖论属于后者。[5] 拉姆齐认为,逻辑矛盾涉及数学或逻辑术语(例如类,数),因此表明存在逻辑问题。而语义矛盾除纯逻辑术语外还涉及“思想”,“语言”,“符号”等概念, 它们是经验性(非形式)术语。语义矛盾也被称为认识论矛盾。 该方法被认为是当前的标准的悖论分类方法。[6]

柯里悖论可以像罗素悖论一样,以集合论或属性论的悖论的形式出现(即逻辑悖论的形式); 但是,它也可以是类似于说谎者悖论的语义悖论的形式出现。[1]

特性[编辑]

柯里悖论产生的根源和柯里悖论与罗素悖论和说谎者悖论类似,是违反了恶性循环原则英语Vicious-Circle Principle[7],具有自指性。 [8] 但也与柯里悖论与罗素悖论和说谎者悖论有不同的特点,因为它本质上并没有涉及否定的概念。 [1]

需要强调,因为柯里悖论并不在“本质上涉及否定”, 它与罗素悖论和说谎者悖论有实质性不同。一些具有弱否定原理的非经典逻辑(如次协调逻辑),可以解决罗素悖论和说谎者悖论,但仍然容易受到柯里悖论的影响。

自然语言论证[编辑]

条件命题形式为:

“如果A,则B”

证明条件命题(命题形式为:“如果A,那么B”)的标准方法称为“条件证明”。 在该证明方法中,为了证明“如果A,则B”,1) 首先假设A,2) 然后在该假设下B被证明是正确的。

柯里悖论使用一种特殊的自指条件命题(self-referential conditional sentence),如以下示例所示:

句子X为:“如果X,则Y”。

按上面标准方法(“条件证明”),证明条件命题X时, 首先假设X成立, 由条件命题本身“如果X,则Y”, 则 “Y”成立; 因此推导出,X成立。 由于“Y”是任意的, 也可以用任何其他命题代替,因此,仅使用公认的逻辑推理方法,每个命题似乎都是可以证明的。不但可以证明Y,亦可以证明¬Y,这种情况是自相矛盾的。

另一个例子如下: 

如果这句话是正确的,那么德国与中国接壤。

尽管德国没有与中国接壤,但例句当然是自然语言的句子,因此可以分析该句子的真实性。悖论来自此分析, 分析包括下面两个步骤:

  1. 首先,可以使用上面的标准方法(“条件证明”)证明例句是正确的。
  2. 其次,例句可以用来证明德国与中国接壤。因为德国不与中国接壤,所以这表明其中一个证据有误。

“德国与中国接壤”的命题可以用任何其他命题F代替,并且该命题F仍然可以被证明。 [1]

相关条目[编辑]

参考资料[编辑]

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Curry’s Paradox, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. 
  2. ^ Barwise, Jon; Etchemendy, John. The Liar: An Essay on Truth and Circularity. New York: Oxford University Press. 1987: 23 [24 January 2013]. ISBN 0195059441. 
  3. ^ Curry, Haskell B. “The Inconsistency of Certain Formal Logics”, Journal of Symbolic Logic, 7(3): 115–117. doi:10.2307/2269292. 
  4. ^ Löb, Martin, Solution of a Problem of Leon Henkin, Journal of Symbolic Logic, 1955, 20 (2): 115–118, JSTOR 2266895 
  5. ^ MacBride, Fraser, etc. Chapter 2. The Foundations of Logic and Mathematics, Frank Ramsey, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. 
  6. ^ Cantini, Andrea; Riccardo Bruni. Paradoxes and Contemporary Logic (Fall 2017), <Stanford Encyclopedia of Philosophy>. 
  7. ^ Gupta, Anil. 2.6 Vicious-Circle Principle, Definitions, < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28]. 
  8. ^ Bolander, Thomas. Self-Reference, < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28].