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柯里悖論

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柯里悖論(英語:Curry's paradox[1]是一種悖論,由美國數理邏輯學家哈斯凱爾·柯里提出,並且以其命名。它也與馬丁·雨果·洛布英語Martin Löb洛布定理英語Löb's theorem有關,故也被稱為洛布悖論[2]

簡介

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對於這樣一個條件語句C:「若C,則F」,只需要一些顯然無害的邏輯推導規則,就可以推導出:僅從句子C的存在就證明了任意主張F。由於F是任意的,因此遵循這些邏輯規則的任何邏輯系統都可以證明所有命題,這就引起矛盾(見:柯里悖論#自然語言論證),違反了經典邏輯的無矛盾律;因此,這是一個悖論

當今哲學家所使用的「柯里悖論」一詞,指的是一類多樣化的悖論,具有自指性(self-reference)或循環性(circularity),並且其悖論根源的發現可追溯到柯里(1942)[3]和洛布(1955)[4]的貢獻。

該悖論可以用自然語言和各種形式邏輯來表達,包括集合論λ演算組合子邏輯的某些形式。所有可以稱為「柯里悖論」的悖論共同特徵是,它們以連接詞或謂詞形式利用蘊涵,蘊含或結果的概念。[1]

分類

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弗蘭克·普倫普頓·拉姆齊於1925年最早把邏輯悖論(Logical Paradox)同語義悖論(Semantical Paradox)區別開來。羅素悖論屬於前一類,說謊者悖論屬於後者。[5]拉姆齊認為,邏輯矛盾涉及數學或邏輯術語(例如類,數),因此表明存在邏輯問題。而語義矛盾除純邏輯術語外還涉及「思想」,「語言」,「符號」等概念,它們是經驗性(非形式)術語。語義矛盾也被稱為認識論矛盾。該方法被認為是當前的標準的悖論分類方法。[6]

柯里悖論可以像羅素悖論一樣,以集合論或屬性論的悖論的形式出現(即邏輯悖論的形式);但是,它也可以是類似於說謊者悖論的語義悖論的形式出現。[1]

特性

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柯里悖論產生的根源和柯里悖論與羅素悖論和說謊者悖論類似,是違反了惡性循環原則英語Vicious-Circle Principle[7],具有自指性。[8]但也與柯里悖論與羅素悖論和說謊者悖論有不同的特點,因為它本質上並沒有涉及否定的概念。[1]

需要強調,因為柯里悖論並不在「本質上涉及否定」,它與羅素悖論和說謊者悖論有實質性不同。一些具有弱否定原理的非經典邏輯(如次協調邏輯),可以解決羅素悖論和說謊者悖論,但仍然容易受到柯里悖論的影響。

自然語言論證

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條件命題形式為:

「如果A,則B」

證明條件命題(命題形式為:「如果A,那麼B」)的標準方法稱為「條件證明」。在該證明方法中,為了證明「如果A,則B」,首先假設A,然後在該假設下B被證明是正確的。

柯里悖論使用一種特殊的自指條件命題(self-referential conditional sentence),如以下示例所示:

句子X為:「如果X,則Y」。

按上面標準方法(條件證明),證明條件命題X時,首先假設X成立,由條件命題本身「如果X,則Y」,則「Y」成立;因此推導出,X成立。由於「Y」是任意的,也可以用任何其他命題代替,因此,僅使用公認的邏輯推理方法,每個命題似乎都是可以證明的。不但可以證明Y,亦可以證明¬Y,這種情況是自相矛盾的。

另一個例子如下:

如果這句話是正確的,那麼德國與中國接壤。

儘管德國沒有與中國接壤,但例句當然是自然語言的句子,因此可以分析該句子的真實性。悖論來自此分析,分析包括下面兩個步驟:

  1. 首先,可以使用上面的標準方法(條件證明)證明例句是正確的。
  2. 其次,例句可以用來證明德國與中國接壤。因為德國不與中國接壤,所以這表明其中一個證據有誤。

「德國與中國接壤」的命題可以用任何其他命題F代替,並且該命題F仍然可以被證明。[1]

形式證明

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命題邏輯證明

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上一節中的示例使用了非形式化的自然語言推理。柯里悖論也出現在某些形式邏輯中。在這種情況下,它表明,如果我們假設存在一個形式句子(X → Y),其中X本身相當於(X → Y),那麼我們可以用形式證明來證明Y。有關本節中使用的邏輯符號的說明,請參閱邏輯符號表。用命題邏輯的形式證明如下:

  1. X := (X → Y)
    訂立假設,證明的開始,相當於「如果這句話為真,則Y」
  2. X → X
  3. X → (X → Y)
    根據1,X等於X → Y;所以用X → Y替換 2 的右側
  4. X → Y
  5. X
    將 4 替換為 1
  6. Y
    根據5和4並通過肯定前件規則

另一種證明是通過皮爾士定律。如果X = X → Y,則(X → Y) → X。根據皮爾士定律((X → Y) → X) → X和肯定前件規則,意味着X和隨後的Y(如上面的證明)。

相關條目

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參考資料

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Curry’s Paradox, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-11-26]. (原始內容存檔於2021-10-29). 
  2. ^ Barwise, Jon; Etchemendy, John. The Liar: An Essay on Truth and Circularity. New York: Oxford University Press. 1987: 23 [24 January 2013]. ISBN 0195059441. 
  3. ^ Curry, Haskell B. “The Inconsistency of Certain Formal Logics”, Journal of Symbolic Logic, 7(3): 115–117. doi:10.2307/2269292. 
  4. ^ Löb, Martin, Solution of a Problem of Leon Henkin, Journal of Symbolic Logic, 1955, 20 (2): 115–118, JSTOR 2266895 
  5. ^ MacBride, Fraser, etc. Chapter 2. The Foundations of Logic and Mathematics, Frank Ramsey, < Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-12-25]. (原始內容存檔於2021-10-29). 
  6. ^ Cantini, Andrea; Riccardo Bruni. Paradoxes and Contemporary Logic (Fall 2017), <Stanford Encyclopedia of Philosophy>. [2020-12-27]. (原始內容存檔於2021-11-04). 
  7. ^ Gupta, Anil. 2.6 Vicious-Circle Principle, Definitions, < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28]. (原始內容存檔於2021-06-10). 
  8. ^ Bolander, Thomas. Self-Reference, < Stanford Encyclopedia of Philosophy(Summer 2020 Edition)>. [2020-12-28]. (原始內容存檔於2021-06-10).