链式法则

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链式法则chain rule),是求复合函数导数的一个法则。设为两个关于可导函数,则复合函数的导数为:

例子[编辑]

求函数 的导数。设

求函数 的导数。

证明[编辑]

fg为函数,x为常数,使得fg(x)可导,且gx可导。根据可导的定义,

,其中当时,

同理,

,其中当时,

现在

其中. 注意到当时,,因此 。因此

多元复合函数求导法则[编辑]

考虑函数z = f(x, y),其中x = g(t),y = h(t),g(t)和h(t)是可微函数,那么:

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数,也就是说,u = h(x, y),v = g(x, y),且这些函数都是可微的。那么,z的偏导数为:

如果我们考虑

为一个向量函数,我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度的偏导数的数量积

更一般地,对于从向量到向量的函数,求导法则为:

高阶导数[编辑]

复合函数的最初几个高阶导数为:

参见[编辑]