本页使用了标题或全文手工转换

链式法则

维基百科,自由的百科全书
跳到导航 跳到搜索

链式法则,台湾地区亦称连锁律(英語:Chain rule),用于求合成函数導數

正式表述[编辑]

兩函數 定義域 () 、值域 () 都包含於實數系 ,若可以定義合成函數 (也就是 ),且 可微分,且 可微分,則

也可以寫成

例子[编辑]

求函数 的导数。

求函数 的导数。

证明[编辑]

嚴謹的證明需要以下連續函數的極限定理

都是实函数,若可以定義合成函數

則有


只要展開極限的δ-ε定義,並考慮 等於或不等於 的兩種狀況,這個極限定理就可以得証。

為了證明連鎖律,定義一個函數 ,其定義域 , 而對應規則為

和一個函數 ,其定義域 , 而對應規則為

這樣,考慮到 導數是以下函數(定義域為)的極限

因為可微則必連續(根據乘法的極限性質),所以 連續、 連續,故根據上面的極限定理有

而且針對一開始可微的前提有

再根據乘法的極限性質

即為所求。

多元复合函数求导法则[编辑]

考虑函数z = f(x, y),其中x = g(t),y = h(t),g(t)和h(t)是可微函数,那么:

假设z = f(u, v)的每一个自变量都是二元函数,也就是说,u = h(x, y),v = g(x, y),且这些函数都是可微的。那么,z的偏导数为:

如果我们考虑

为一个向量函数,我们可以用向量的表示法把以上的公式写成f的梯度的偏导数的数量积

更一般地,对于从向量到向量的函数,求导法则为:

高阶导数[编辑]

复合函数的最初几个高阶导数为:

参见[编辑]