差分

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差分,又名差分函數差分運算,是数学中的一个概念。它将原函数 映射。差分運算,相應於微分運算,是微积分中重要的一个概念。

定义[编辑]

差分分为前向差分逆向差分

前向差分[编辑]

函数的前向差分通常简称为函数的差分。对于函数,如果在等距节点:

则称,函数在每个小区间上的增量一阶差分。[1]

在微积分学中的有限差分(finite differences),前向差分通常是微分离散的函数中的等效运算。差分方程的解法也与微分方程的解法相似。当多项式时,前向差分为Delta算子(称为差分算子[2]),一种线性算子。前向差分会将多项式阶数降低 1。

逆向差分[编辑]

对于函数,如果:

则称的一阶逆向差分。

差分的阶[编辑]

一阶差分的差分为二阶差分,二阶差分的差分为三阶差分,其余类推。记:

阶差分。

如果

根据数学归纳法,有

其中,二项式系数

特别的,有

前向差分有时候也称作数列二项式变换

差分的性质[编辑]

对比解析函数中的微分的属性,差分的性质有:

  • 线性:如果 为常数,则有

牛頓級數[编辑]

自然哲學的數學原理》的第三編“宇宙體系”的引理五的图例。這裡在橫坐標上有6個點H,I,K,L,M,N,對應著6個值A,B,C,D,E,F,生成一個多項式函數對這6個點上有對應的6個值,計算任意點S對應的值R。牛頓給出了間距為單位值和任意值的兩種情況。

牛頓插值公式也叫做牛頓級數,由“牛頓前向差分方程”的項組成,得名於伊薩克·牛頓爵士,最早发表为他在1687年出版的《自然哲學的數學原理》中第三編“宇宙體系”的引理五[3],此前詹姆斯·格雷果里於1670年和牛頓於1676年已經分別獨立得出這個成果。一般稱其為連續泰勒展開的離散對應。

單位步長情況[编辑]

x值間隔為單位步長1時,有:

這成立於任何多項式函數和大多數但非全部解析函數。這裡的表達式

二項式係數,其中的(x)k是“下降階乘冪”,空乘積(x)0被定義為1。這裡的Δk[f](x)是“前向差分”的特定情況,即間距h=1。

實例[编辑]

為了展示牛頓的這個公式是如何使用的,舉例數列 1, 4, 9,16...的前幾項,可以找到一個多項式重新生成這些值,首先計算一個差分表,接著將對應於x0(標示了下劃線)的這些差分代換入公式,

一般情況[编辑]

對於x值間隔為非一致步長的情況,牛頓計算均差,在間隔一致但非單位量時,即上述前向差分的一般情況,插值公式為:

在最終公式中hk被消去掉了,對於非一致步長的情況則不會出現階乘。

参考[编辑]

  1. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P204.
  2. ^ 科学出版社 《数值分析及科学计算》 薛毅(编) 第六章 第2节 Newton插值. P205.
  3. ^ Newton, Isaac, (1687). Principia, Book III, Lemma V, Case 1

参见[编辑]

参考文献[编辑]