弱微分

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数学中,弱微分Weak Derivative)是一个函数微分(强微分)概念的推广,它可以作用于那些勒贝格可积(Lebesgue Integrable)的函数,而不必预设函数的可微性(事实上大部分可以弱微分的函数并不可微)。一个典型的勒贝格可积函数的空间是。在分布中,可以定义一个更一般的微分概念。

定义[编辑]

是一个在中的勒贝格可积的函数,称的一个弱微分,如果

其中是任意一个连续可微的函数,并且满足

推广到维的情形,如果中的函数(在某个开集局部可积),并且是一个多重指标,那么称为次弱微分,如果

其中是一个任意给定的函数,即给定的支撑集含于无穷可微的函数。

如果的弱微分存在,一般被记为。可以证明,一个函数的弱微分在测度意义是唯一的,即如果有两个不同的弱微分,其仅可能在一个零测集上存在差异。

例子[编辑]

函數 並不可微,但具有以下被稱為符號函數的弱微分:

性质[编辑]

如果两个函数是相同函数的弱导数,那么它们除了在一个勒贝格测度为零的集合上以外相等,也就是说,它们几乎处处相等。如果我们考虑函数的等价类,其中两个函数是等价的如果它们几乎处处相等,那么弱导数是唯一的。

此外,如果u是可微的,那么它的弱导数与导数相同。因此弱导数是导数的推广。更进一步,两个函数的和与积的导数公式对弱导数也是成立的。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Gilbarg, David; Trudinger, Neil S. Elliptic partial differential equations of second order. Berlin: Springer. 2001: 149. ISBN 3-540-41160-7. 
  • Evans, Lawrence C. Partial differential equations. Providence, R.I.: American Mathematical Society. 1998: 242. ISBN 0-8218-0772-2. 
  • Knabner, Peter; Angermann, Lutz. Numerical methods for elliptic and parabolic partial differential equations. New York: Springer. 2003: 53. ISBN 0-387-95449-X.