次导数

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凸函数(蓝)和x0处的“次切线”(红)

次导数次切线次微分的概念出现在凸分析,也就是凸函数的研究中。

f:IR是一个实变量凸函数,定义在实数轴上的开区间内。这种函数不一定是处处可导的,例如绝对值函数f(x)=|x|。但是,从右面的图中可以看出(也可以严格地证明),对于定义域中的任何x0,我们总可以作出一条直线,它通过点(x0, f(x0)),并且要么接触f的图像,要么在它的下方。这条直线的斜率称为函数的次导数。

定义[编辑]

凸函数f:IR在点x0的次导数,是实数c使得:

f(x)-f(x_0)\ge c(x-x_0)

对于所有I内的x。我们可以证明,在点x0的次导数的集合是一个非空闭区间[a, b],其中ab单侧极限

a=\lim_{x\to x_0^-}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}
b=\lim_{x\to x_0^+}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}

它们一定存在,且满足ab

所有次导数的集合[a, b]称为函数fx0的次微分。

例子[编辑]

考虑凸函数f(x)=|x|。在原点的次微分是区间[−1, 1]。x0<0时,次微分是单元素集合{-1},而x0>0,则是单元素集合{1}。

性质[编辑]

  • 凸函数f:IRx0可导,当且仅当次微分只由一个点组成,这个点就是函数在x0的导数。
  • x0是凸函数f最小值,当且仅当次微分中包含零,也就是说,在上面的图中,我们可以作一条水平的“次切线”。这个性质是“可导函数在极小值的导数是零”的事实的推广。

次梯度[编辑]

次导数和次微分的概念可以推广到多元函数。如果f:UR是一个实变量凸函数,定义在欧几里得空间Rn内的凸集,则该空间内的向量v称为函数在点x0的次梯度,如果对于所有U内的x,都有:

f(x)-f(x_0)\ge v\cdot (x-x_0)

所有次梯度的集合称为次微分,记为∂f(x0)。次微分总是非空的凸紧集

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6.