隐函数

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

在一个方程f(x,y)=0中,若令x在某一区间内取任意值时总有相应的y满足此方程,则可以说方程f(x,y)=0在该区间上确定了x的隐函数y,如x^2+y^2-1=0。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数,也就是通常所说的函数,如y=\cos(x)

例子[编辑]

反函数[编辑]

隐函数的一个常见类型是反函数。若f是一个函数,那么f的反函数记作f−1, 是给出下面方程解的函数

x = f(y)

x表示y。这个解是

 y = f^{-1}(x).

直观地,通过交换f自变量和因变量的位置就可以得到反函数。换一种说法,反函数给出该方程对于y的解

R(x,y) = x-f(y) = 0. \,

例子.

  1. 对数函数 ln(x) 给出方程xey = 0或等价的x = ey的解 y = ln(x) . 这里 f(y) = ey 并且 f−1(x) = ln(x).
  2. The product log is an implicit function giving the solution for y of the equation xy ey = 0.

代数函数[编辑]

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数. 例如, 单变量 x 的代数函数给出一个方程中 y 的解

a_n(x)y^n+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots+a_0(x)=0 \,

where the coefficients ai(x) are polynomial functions of x. Algebraic functions play an important role in mathematical analysis and algebraic geometry. A simple example of an algebraic function is given by the unit circle equation:

x^2+y^2-1=0. \,

Solving for y gives an explicit solution:

y=\pm\sqrt{1-x^2}. \,

But even without specifying this explicit solution, it is possible to refer to the implicit solution of the unit circle equation.

While explicit solutions can be found for equations that are quadratic, cubic, and quartic in y, the same is not in general true for quintic and higher degree equations, such as

 y^5 + 2y^4 -7y^3 + 3y^2 -6y - x = 0. \,

Nevertheless, one can still refer to the implicit solution y = g(x) involving the multi-valued implicit function g.

隱函數的导数[编辑]

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:

  • 隐函数左右两边对x求导(但要注意把y看作x的函数);
  • 利用一阶微分形式不变的性质分别对xy求导,再通过移项求得\frac {dy}{dx}的值;
  • 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数偏导数的商求得n元隐函数的导数。举个例子,若欲求z=f(x,y)的导数\frac {dy}{dx},那么可以将原隐函数通过移项化为f(x,y,z)=0的形式,然后通过\frac {dy}{dx} = -\frac{F'_x}{F'_y}(式中F'_yF'_x分别表示yxz的偏导数)来求解。

示例[编辑]

  • 針對y^n

\frac{d}{dx}y^n = n \cdot y^{n-1}\frac{dy}{dx}

  • 針對x^m y^n

\frac{d}{dx}x^m y^n = n \cdot x^m y^{n-1}\frac{dy}{dx} + m \cdot x^{m-1} y^n

  • \ 12x^7-7x^4 y^3+6xy^5-14y^6+25=10對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。

{\color{Blue}12x^7}{\color{Red}-7x^4 y^3}{\color{Green}+6xy^5}{\color{Brown}-14y^6}+25=10

1.兩邊皆取其相應的導數,得出

{\color{Blue}12\cdot7x^6}{\color{Red}-7\left(3x^4 y^2\frac{dy}{dx} + 4x^3 y^3 \right)}{\color{Green}+6\left(5xy^4\frac{dy}{dx} + y^5\right)}{\color{Brown}-14\cdot 6y^5\frac{dy}{dx}}+0=0

2.移項處理。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}={\color{Red}21x^4 y^2\frac{dy}{dx}}{\color{Green}- 30xy^4\frac{dy}{dx}}{\color{Brown}+84y^5\frac{dy}{dx}}

3.抽出導數因子。

{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}=\left({\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5} \right)\left( \frac{dy}{dx} \right)

4.移項處理。

\frac{dy}{dx} = \frac{{\color{Blue}84x^6}{\color{Red}- 28x^3 y^3}{\color{Green}+ 6y^5}}{{\color{Red}21x^4 y^2}{\color{Green}- 30xy^4}{\color{Brown}+84y^5}}

5.完成。得出其導數為\frac{84x^6 - 28x^3 y^3 + 6y^5}{21x^4 y^2 - 30xy^4 + 84y^5}

6.選擇性步驟:因式分解處理。

\frac{dy}{dx} = \frac{2\left(42x^6 - 14x^3 y^3 + 3y^5 \right)}{3y^2\left(7x^4 - 10xy^2 + 28y^3\right)}


參見[编辑]