隐函数

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數學中,隱式方程implicit equation)是形同關係,其中f多元函數。比如單位圓的隱式方程是

隐函数implicit function)是由隱式方程所隱含定義的函數,比如是由確定的函數。而可以直接用含自变量的算式表示的函数称为显函数,也就是通常所说的函数,如

隱函數定理說明了隱式方程在什麼情況下會確定出隱函數。

例子[编辑]

反函数[编辑]

隐函数的一个常见类型是反函数。若f是一个函数,那么f的反函数记作f−1, 是给出下面方程解的函数

x = f(y)

x表示y。这个解是

直观地,通过交换f自变量和應变量的位置就可以得到反函数。换一种说法,反函数给出该方程对于y的解

例子

  1. 对数函数 ln(x) 给出方程xey = 0或等价的x = ey的解 y = ln(x)。 这里 f(y) = ey 并且 f−1(x) = ln(x)。
  2. 朗伯W函數則可以解出 xy ey = 0的y值。

代数函数[编辑]

一个代数函数是满足自身多项式系数的多项式方程的函数。例如,单变量 的代数函数给出一个方程中 的解。

其中係數 的多項式函數。

代數函數在數學分析代数几何中扮演重要角色,我們再拿單位圓方程式來當作代數函數的範例:

那麼 的顯函數解顯然是:

但其實我們不一定要把它的顯函數解寫出來,它也可以直接利用隱函數來表達。

對於y的二次、三次和四次方程,可以找到只包含有限次四則運算和開方運算的顯函數解, 但這并不适用于包括五次在内的更高次数的方程(參見阿贝尔-鲁菲尼定理),例如:

但是,我们仍然可以以隐函数 y = g(x) 的方式来表达。

隱函數的导数[编辑]

隐函数导数的求解一般可以采用以下方法:

方法一[编辑]

  • 把n元隐函数看作(n+1)元函数,通过多元函数偏导数的商求得n元隐函数的导数。

示例[编辑]

把1元隐函数看作2元函数,若欲求,對取全微分,可得,經過移項可得

(式中表示關於的偏导数,以此類推)。

把2元隐函数看作3元函数,若欲求,對取全微分,可得

由於所求為,令z為常數,即,經過移項可得

方法二[编辑]

  • 針對1元隱函數,把看作的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对求导,再通过移项求得的值。
  • 針對2元隱函數,把看作的函数,利用鏈式法则在隱函數等式两边分別对求导,令,再通过移项求得的值。

示例[编辑]

  • 針對

  • 針對

  • 中y對x的導數。

為了方便辨別相應的導數部分,各項都以不同顏色分開(常數則以黑色表示)。

1.兩邊皆取其相應的導數,得出

2.移項處理。

3.提出導數因子。

4.移項處理。

5.完成。得出其導數為

6.選擇性步驟:因式分解

參見[编辑]