倒数定则

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微积分学
\text{e} = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
函数 · 导数 · 微分 · 积分

倒数定则是数学中关于函数的倒数导数的一个计算定则。

设有函数g(x),则其倒数1/g(x)的导数为

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}

例子[编辑]

1/(x^2 + 2x)的导数为:
\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2 + 2x}\right) = \frac{-2x - 2}{(x^2 + 2x)^2}.
1/\cos(x)的导数为:
\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{\cos(x) }\right) = \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos(x)} \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \sec(x)\tan(x).

证明[编辑]

f(x) = 1,则根据除法定则可得

\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{g(x)}\right) = \frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}
= \frac{0\cdot g(x) - 1\cdot g'(x)}{(g(x))^2}
= \frac{- g'(x)}{(g(x))^2}.