线性微分方程

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线性微分方程是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程

其中方程左侧的微分算子线性算子y是要解的未知函数,方程的右侧是一个已知函数。如果f(x) = 0,那么方程(*)的解的线性组合仍然是解,所有的解构成一个向量空间,称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当f不是零函数时,所有的解构成一个仿射空间,由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程,也可以是偏微分方程

简介[编辑]

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间,因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为:

其中的是一个线性的微分算子,也就是说,设有两个函数以及两个常数,那么:

如果f是零函数,那么给定若干个方程(*)的解函数:以及同样多的常数系数:,线性组合仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间V,称为方程的解空间。如果f不是零函数,那么考虑相应的齐次线性微分方程:

是方程(*)的一个解函数。方程(**)的任意一个解函数。则它们的和仍然是(*)的解函数。另一方面,给定方程(*)的两个解函数:。则它们的差会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成的形式。其中V是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间V',并且

常系数齐次线性微分方程[编辑]

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的,他意识到这类方程的解都具有的形式,其中是某个复数。因此,对于以下方程:

我们设,可得:

两边除以e zx,便得到了一个n次方程:

这个方程F(z) = 0称为特征方程

一般地,把微分方程中以下的项

换成zk,便可得到特征方程。这个方程有n个解:z1, ..., zn。把任何一个解代入e zx,便可以得到微分方程的一个解:e zix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理,因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复,我们便得到了微分方程的n个解。可以证明,这些解是线性独立的。于是,微分方程的通解就是y = C1e z1x + C2e z2x + …… + Cne znx,其中C1C2、……、Cn是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个(或多个)相同,用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是,可以验证,如果z是特征方程的 mz 重根,那么,对于 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z,都能得到 mz 个解,所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地,如果微分方程的系数Ai都是实数,那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根,那么它一定是成对的,也就是说,如果a + bi是特征方程的根,那么a - bi也是一个根。于是,y = e (a + bi)xy = e (a - bi)x都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解,我们可以把这两个解相加,再除以2,利用欧拉公式,便得到一个实数形式的解:y = e axcosbx。如果把两个解相减,再除以2i,便得到另一个实数形式的解:y = e axsinbx。于是,y = C1e axcosbx + C2e axsinbx就是微分方程的通解。

例子[编辑]

求微分方程的通解。特征方程是,它的根是2+i和2−i。于是,就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程[编辑]

欲得到非齐次线性微分方程的通解,我们首先求出对应的齐次方程的通解,然后用待定系数法常数变易法日语定数変化法求出非齐次方程本身的一个特解,把它们相加,就是非齐次方程的通解。

待定系数法[编辑]

考虑以下的微分方程:

对应的齐次方程是:

它的通解是:

由于非齐次的部分是(),我们猜测特解的形式是:

把这个函数以及它的导数代入微分方程中,我们可以解出A

因此,原微分方程的解是:

()

常数变易法[编辑]

假设有以下的微分方程:

我们首先求出对应的齐次方程的通解,其中C1C2是常数,y1y2x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解,方法是把齐次方程的通解中的常数C1C2换成x的未知函数u1u2,也就是:

两边求導數,可得:

我们把函数u1u2加上一条限制:

于是:

两边再求導數,可得:

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中,可得:

整理,得:

由于y1y2都是齐次方程的通解,因此都变为零,故方程化为:

(2)和(5)联立起来,便得到了一个的方程组,便可得到的表达式;再积分,便可得到的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地,有:

其中W表示朗斯基行列式

变系数线性微分方程[编辑]

n阶的变系数微分方程具有以下形式:

一个例子是柯西-欧拉方程

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解,但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程:

这个方程可以用积分因子求解,方法是把两边乘以

乘法定则,可以简化为:

两边积分,得:

也就是说,一阶线性微分方程的解是:

其中是积分常数,且

例子[编辑]

考虑以下一阶线性微分方程:

p(x) = b,r(x) = 1,因此微分方程的解为:

拉普拉斯变换解微分方程[编辑]

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系:

有如下微分方程:

该方程可变换为:

则:

其中 是初始条件。

f(t) 通过拉普拉斯反变换 求得。


参见[编辑]

参考文献[编辑]

  • Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.