微分算子

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数学中,微分算子是定义为微分运算之函数的算子。首先在记号上,将微分考虑为一个抽象运算是有帮助的,它接受一个函数得到另一个函数(以计算机科学高阶函数的方式)。

当然有理由不单限制于线性算子;例如施瓦茨导数是一个熟知的非线性算子。不过这里只考虑线性的情形。

记号[编辑]

最常用的微分算子是取导数自身。这个算子的常用记号包括:

,这里关于哪个变量微分是清楚的,以及
,这里指明了变量。

一阶导数如上所示,但当取更高阶n-次导数时,下列替代性记号是有用的:

记号D的发明与使用归于奥利弗·赫维赛德,他在研究微分方程中考虑了如下形式的微分算子

另一个最常见的微分算子是拉普拉斯算子,定义为

另一个微分算子是Θ算子,定义为

有时候这也称为齐次算子,因为它的本征函数是关于z的单项式:

n个变量中齐次算子由

给出。与单变量一样,Θ的本征空间齐次多项式空间。

一个算子的伴随[编辑]

给定一个线性微分算子T

这个算子的伴随定义为算子使得

这里记号表示数量积点积。从而此定义取决于数乘的定义。

单变量中的形式伴随[编辑]

平方可积函数空间中,数量积定义为

如果另外增添要求fg等于零,我们也可定义T的伴随为

此公式不明显地取决于数量积的定义,故有时作为伴随算子的一个定义。当用这个公式定义时,它称为T形式伴随

一个(形式)自伴算子是与它的(形式)伴随相等的算子。

多变量[编辑]

如果Ω是Rn中一个区域,而P是Ω上一个微分算子,则PL2(Ω)中的伴随由对偶性以类似的方式定义:

对所有光滑L2函数fg。因为光滑函数在L2中是稠密的,这在L2的一个稠密子集上定义了伴随:: P*是一个稠定算子

例子[编辑]

施图姆-刘维尔算子是形式自伴算子一个熟知的例子。这个二阶微分算子L可以写成如下形式

这个性质可用上面的形式自伴的定义来证明。

这个算子在施图姆-刘维尔理论Sturm–Liouville theory) 中的关键,其中考虑了这个算子本征函数(类比于本征向量)。

微分算子的性质[编辑]

微分是线性的,即

这里fg是函数,而a是一个常数。

任何以函数为系数之D的多项式也是一个微分算子。我们也可以通过法则

复合微分算子。需要一些注意:首先算子D2中的任何函数系数必须具有D1所要求的可微次数。为了得到这样运算的一个环,我们必须假设所用的系数的所有阶导数。第二,这个环不是交换的:一个算子gD一般与Dg不同。事实上我们有例,如在量子力学中的基本关系:

但这些算子的子环:D常系数多项式是交换的。它可以另一种方式刻画:它由平移不变算子组成。

微分算子也服从移位定理shift theorem)。

多变量[编辑]

同样的构造可对偏导数也成立,关于不同的变量微分给出可交换的算子(参见二阶导数的对称性)。

坐标无关描述以及与交换代数的关系[编辑]

微分几何代数几何中,通常习惯于对两个向量丛之间的微分算子有一个坐标无关描述。设是流形上两个向量丛。截面的一个-线性映射称为一个k-阶微分算子,如果它分解穿过节丛。换句话说,存在一个向量丛的线性映射

使得

这里表示由,在截面上诱导的映射,而,是典范(或通用)k-阶微分算子。

这恰好意味着对一个给定的截面 of 在一个点的值完全由k-阶无穷小行为决定。特别地这蕴含着决定,这说明了微分算子是局部的。一个基本的结果是皮特定理Peetre theorem)证明了逆命题也是正确的:任何局部算子是微分。

线性微分算子的一个等价的,但纯代数的描述如下: 一个-线性映射是一个k-阶微分算子,如果对任何(k + 1)阶光滑函数我们有

这里括号定义为交换子

线性算子的这个刻画说明,它们是一个交换代数上的之间的一个特殊映射,使这个概念可视为交换代数的一部分。

例子[编辑]

相关条目[编辑]