微分算子

在數學中，微分算子（英語：Differential operator）是定義為微分運算之函數的算子。首先在記號上，將微分考慮為一個抽象運算是有幫助的，它接受一個函數得到另一個函數^{[註 1]}^{[註 2]}。

記號

最常用的微分算子是取導數自身。這個算子的常用記號包括： ${\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}$ 、 $D$ （在不會搞混哪個變量微分時），以及 $D_{x}$ （指明了變量）。

一階導數如上所示，但當取更高階n-次導數時，下列替代性記號是有用的： $\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}$ 、 $D^{n}$ 、 $D_{x}^{n}$ 。

記號D的發明與使用歸於奧利弗·亥維賽，他在研究微分方程中考慮了如下形式的微分算子

\sum _{k=0}^{n}c_{k}D^{k}

另一個最常見的微分算子是拉普拉斯算子，定義為

\Delta =\nabla ^{2}=\sum _{k=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x_{k}^{2}}

另一個微分算子是Θ算子，定義為

\Theta =z{\mathrm {d}  \over \mathrm {d} z}

有時候這也稱為齊次算子，因為它的本徵函數是關於z的單項式：

\Theta (z^{k})=kz^{k},\quad k=0,1,2,\dots

在n個變量中齊次算子由

\Theta =\sum _{k=1}^{n}x_{k}{\frac {\partial }{\partial x_{k}}}

給出。與單變量一樣，Θ的本徵空間是齊次多項式空間。

一個算子的伴隨

給定一個線性微分算子T

Tu=\sum _{k=0}^{n}a_{k}(x)D^{k}u

，

這個算子的伴隨定義為算子 $T^{*}$ 使得

\langle Tu,v\rangle =\langle u,T^{*}v\rangle

這裡記號 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 表示數量積或點積。從而此定義取決於數乘的定義。

單變量中的形式伴隨

在平方可積函數空間中，數量積定義為

\langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} x

如果另外增添要求f或g當 $x\to a$ 與 $x\to b$ 等於零，我們也可定義T的伴隨為

T^{*}u=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}D^{k}[a_{k}(x)u]

此公式不明顯地取決於數量積的定義，故有時作為伴隨算子的一個定義。當 $T^{*}$ 用這個公式定義時，它稱為T的形式伴隨。

一個（形式）自伴算子是與它的（形式）伴隨相等的算子。

多變量

如果Ω是Rⁿ中一個區域，而P是Ω上一個微分算子，則P在L²(Ω)中的伴隨由對偶性以類似的方式定義：

\langle f,P^{*}g\rangle _{L^{2}(\Omega )}=\langle Pf,g\rangle _{L^{2}(\Omega )}

對所有光滑L²函數f與g。因為光滑函數在L²中是稠密的，這在L²的一個稠密子集上定義了伴隨：: P^*是一個稠定算子。

例子

施圖姆-劉維爾算子是形式自伴算子一個熟知的例子。這個二階微分算子L可以寫成如下形式

Lu=-(pu')'+qu=-(pu''+p'u')+qu=-pu''-p'u'+qu=(-p)D^{2}u+(-p')Du+(q)u.\;\!

這個性質可用上面的形式自伴的定義來證明。

{\begin{aligned}L^{*}u&{}=(-1)^{2}D^{2}[(-p)u]+(-1)^{1}D[(-p')u]+(-1)^{0}(qu)\\&{}=-D^{2}(pu)+D(p'u)+qu\\&{}=-(pu)''+(p'u)'+qu\\&{}=-p''u-2p'u'-pu''+p''u+p'u'+qu\\&{}=-p'u'-pu''+qu\\&{}=-(pu')'+qu\\&{}=Lu\end{aligned}}

這個算子在施圖姆-劉維爾理論（Sturm–Liouville theory）中的關鍵，其中考慮了這個算子本徵函數（類比於本徵向量）。

微分算子的性質

微分是線性的，即

D(f+g)=(Df)+(Dg)

D(af)=a(Df)

這裡f和g是函數，而a是一個常數。

任何以函數為係數之D的多項式也是一個微分算子。我們也可以通過法則

(D_{1}\circ D_{2},f)=D_{1}(D_{2}(f))

複合微分算子。需要一些注意：首先算子D₂中的任何函數係數必須具有D₁所要求的可微次數。為了得到這樣運算的一個環，我們必須假設所用的係數的所有階導數。第二，這個環不是交換的：一個算子gD一般與Dg不同。事實上我們有例，如在量子力學中的基本關係：

Dx-xD=1

但這些算子的子環：D的常係數多項式是交換的。它可以另一種方式刻畫：它由平移不變算子組成。

微分算子也服從移位定理（shift theorem）。

多變量

同樣的構造可對偏導數也成立，關於不同的變量微分給出可交換的算子^{[註 3]}。

坐標無關描述以及與交換代數的關係

在微分幾何與代數幾何中，通常習慣於對兩個向量叢之間的微分算子有一個坐標無關描述。設 $E$ 與 $F$ 是流形 $M$ 上兩個向量叢。截面的一個 $\mathbb {R}$ -線性映射 $P:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (F)$ 稱為一個k-階微分算子，如果它分解穿過節叢 $J^{k}(E)$ 。換句話說，存在一個向量叢的線性映射

i_{P}:J^{k}(E)\rightarrow F

使得

P={\hat {i}}_{P}\circ j^{k}

這裡 ${\hat {i}}_{P}$ 表示由 $i_{P}$ ，在截面上誘導的映射，而 $j^{k}:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (J^{k}(E))$ ，是典範（或通用）k-階微分算子。

這恰好意味着對一個給定的截面 $s$ of $E$ ， $P(s)$ 在一個點 $x\in M$ 的值完全由 $s$ 在 $x$ 的k-階無窮小行為決定。特別地這蘊含着 $P(s)(x)$ 由 $s$ 在 $x$ 的芽決定，這說明了微分算子是局部的。一個基本的結果是皮特定理（Peetre theorem）證明了逆命題也是正確的：任何局部算子是微分。