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向量丛

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向量叢(vector bundle)也翻譯成向量束,是数学,特別是幾何學,上的一種幾何結構,在空間 XX 可以是拓撲空間、流形代数簇)的每一點指定(或"黏上")一個向量空间(比如 ),而这些向量空间“粘起来”又构成一個新的拓扑空间(或流形,或代数簇)。 在 X 之上的向量叢最簡單的例子是,X×,另一個較複雜的典型的例子是微分流形切丛(tangent bundle):对流形的每一点"黏"上流形在该点的切空间。 另一个例子是法丛:給定一个平面上的光滑曲线,可在曲线的每一点附上和曲线垂直的直线;这就是曲线的"法丛"。

向量叢定義中的向量空間主要常見的是實空間()跟複空間(),分別稱作實向量叢複向量叢。複向量丛可以视为一種帶有附加结构的实向量丛。

向量丛是纤维丛的一種。

定义和直接的结果[编辑]

一个实向量丛要包含下列空間跟映射:

  • X(基空间(base space))和E(全空间(total space))為拓撲空間(或是流形等其他空間)
  • 一个連續滿射 π : EX(稱作投影)
  • X 中的每點 x,π−1({x})是有限維的實向量空間(稱作纖維(fiber) )。

且這些空間跟映射要满足以下相容性条件:对 X 中的每一点有一个开邻域 包含這點,一个自然数 n,和一个同胚

使得對所有xU,:

  • 对所有 vRn均成立
  • 映射  是兩個向量空间 Rn 和 π−1(x) 之間的線性同构。

开邻域U和同胚φ合起来叫做丛的局部平凡化。这表示映射π在局部看起来"像" U × RnU 上的投影.

向量丛 X × Rn 称为平凡,如果賦予這空間一個投影映射 X × RnX,也就是 E=X × Rn 整體上是 X 的乘積空間 。

每个纤维π−1x)是一个有限维实向量空间,所以有在點 x 有一个维数dx,由局部平凡化的性質可知函数  在局部上是常數,也就是它在X 的每個連通的部份上為常数。如果它在X上是常数的话,我们把这个维数叫做向量丛的。一阶向量丛也叫线丛

向量丛态射[编辑]

一个从向量丛π1 : E1X1到向量丛π2 : E2X2态射(morphism)是一对连续映射f : E1E2g : X1X2使得

  • gπ1 = π2f
BundleMorphism-01.png
  • 对于每个X1中的x,由f诱导的映射π1−1({x}) → π2−1({g(x)})是一个向量空间的线性变换

所有向量丛的类和丛的射组成了一个范畴。限制到光滑流形和光滑丛射,我们就有了光滑向量丛的范畴。

我们可以考虑有一个固定基空间X的所有向量丛组成的范畴。我们取那些在基空间X上为恒等映射(identity map)的射作为在这个范畴中的射. 也就是说,丛射满足下面的交换图

BundleMorphism-02.png

(注意这个范畴不是可交换的;向量丛的射的通常不能很自然的成为一个向量丛。)

截面和局部自由层[编辑]

给定一个向量丛 π : EX, 和 X 的開子集 U,我们可以考虑這個向量叢 在 U 上的截面,也就是连续函数 s : UE 满足 (π∘s)=idU。本质上,截面在 U 的每一点指定一個向量,且這向量屬於在該點的纖維,即 s(x) ∈ π−1x) ,並且要求這種指定要有连续性(或可微性,依討論空間而有所不同)。

例如,微分流形的切丛的截面就是流形上的向量场("微分"流形上一般會要求向量場可微)。

F(U) 为U上所有截面的集合. F(U)中至少有個元素 s,稱作零截面(zero section),這個截面函数 s 會把 U 的每一點 x 都映射到向量空間π−1x)中的零向量。使用每点的加法和数乘,F(U)本身也構成了向量空间。这些向量空间的总和就是 X 上的向量空间的(shelf)。

s 属于F(U) 而 α : URU 上的連續函數,则αs 依然屬於集合 F(U)。我们可以看到 F(U) 是一個 U 上的连续实值函数的环上的,进一步讲,若OX表示X上连续函数的层结构,则F是OX-模的一个层.

不是OX-模的每个层都是以这种方式从向量丛的导的:只有局部自由层可以从这种方法得到。(理由:局部的,我们要找一个投影U × RnU的一个截面,这些恰好是连续函数URn,并且这一函数是连续函数URn-元组.)

更进一步讲:X上的实向量丛的范畴是等价于OX-模的局部自由和有限生成的层的。

所以我们可以将向量丛视为位于OX-模的层的范畴内;而后者是可交换的,所以我们可以计算向量丛的射的核。

向量丛上的操作[编辑]

两个X上的在同一个域上的向量丛,有一个惠特尼和,在每点的纤维为那两个丛的纤维的直积。同样,纤维向量积对偶空间丛也可以这样引入。

变种和推广[编辑]

向量丛是纤维丛的特例。

光滑向量丛定义为满足EX光滑流形,π : EX是光滑映射,而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量丛。

把实向量空间换成複向量空間(complex vector space, 既純量為複數的向量空間),就得到了复向量丛(complex vector bundle)。这是结构群的约化的特例。也可以用其他拓扑域上的向量空间,但相对比较少见。

除了有限維的向量空間以外,如果纖維是某個巴拿赫空间(而不仅是Rn),就可以得到巴拿赫丛.

参考[编辑]

  • Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.