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向量叢

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向量叢(vector bundle)也翻譯成向量束,是數學,特別是幾何學,上的一種幾何結構,在空間 XX 可以是拓撲空間、流形代數簇)的每一點指定(或"黏上")一個向量空間(比如 ),而這些向量空間「粘起來」又構成一個新的拓撲空間(或流形,或代數簇)。 在 X 之上的向量叢最簡單的例子是,X×,另一個較複雜的典型的例子是微分流形切線束(tangent bundle):對流形的每一點"黏"上流形在該點的切空間。 另一個例子是法叢:給定一個平面上的光滑曲線,可在曲線的每一點附上和曲線垂直的直線;這就是曲線的"法叢"。

向量叢定義中的向量空間主要常見的是實空間()跟複空間(),分別稱作實向量叢複向量叢。複向量叢可以視為一種帶有附加結構的實向量叢。

向量叢是纖維叢的一種。

定義和直接的結果

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一個實向量叢要包含下列空間跟映射:

  • X(基空間(base space))和E(全空間(total space))為拓撲空間(或是流形等其他空間)
  • 一個連續滿射 π : EX(稱作投影)
  • X 中的每點 x,π−1({x})是有限維的實向量空間(稱作纖維(fiber) )。

且這些空間跟映射要滿足以下相容性條件:對 X 中的每一點有一個開鄰域 包含這點,一個自然數 n,和一個同胚

使得對所有xU,:

  • 對所有 vRn均成立
  • 映射  是兩個向量空間 Rn 和 π−1(x) 之間的線性同構。

開鄰域U和同胚φ合起來叫做叢的局部平凡化。這表示映射π在局部看起來"像" U × RnU 上的投影.

向量叢 X × Rn 稱為平凡,如果賦予這空間一個投影映射 X × RnX,也就是 E=X × Rn 整體上是 X 的乘積空間 。

每個纖維π−1x)是一個有限維實向量空間,所以有在點 x 有一個維數dx,由局部平凡化的性質可知函數  在局部上是常數,也就是它在X 的每個連通的部份上為常數。如果它在X上是常數的話,我們把這個維數叫做向量叢的。一階向量叢也叫線叢

向量叢態射

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一個從向量叢π1 : E1X1到向量叢π2 : E2X2態射(morphism)是一對連續映射f : E1E2g : X1X2使得

  • gπ1 = π2f
  • 對於每個X1中的x,由f誘導的映射π1−1({x}) → π2−1({g(x)})是一個向量空間的線性轉換

所有向量叢的類和叢的射組成了一個範疇。限制到光滑流形和光滑叢射,我們就有了光滑向量叢的範疇。

我們可以考慮有一個固定基空間X的所有向量叢組成的範疇。我們取那些在基空間X上為恆等映射(identity map)的射作為在這個範疇中的射. 也就是說,叢射滿足下面的交換圖

(注意這個範疇不是可交換的;向量叢的射的通常不能很自然的成為一個向量叢。)

截面和局部自由層

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給定一個向量叢 π : EX, 和 X 的開子集 U,我們可以考慮這個向量叢 在 U 上的截面,也就是連續函數 s : UE 滿足 (π∘s)=idU。本質上,截面在 U 的每一點指定一個向量,且這向量屬於在該點的纖維,即 s(x) ∈ π−1x) ,並且要求這種指定要有連續性(或可微性,依討論空間而有所不同)。

例如,微分流形的切線束的截面就是流形上的向量場("微分"流形上一般會要求向量場可微)。

F(U) 為U上所有截面的集合. F(U)中至少有個元素 s,稱作零截面(zero section),這個截面函數 s 會把 U 的每一點 x 都映射到向量空間π−1x)中的零向量。使用每點的加法和數乘,F(U)本身也構成了向量空間。這些向量空間的總和就是 X 上的向量空間的(shelf)。

s 屬於F(U) 而 α : URU 上的連續函數,則αs 依然屬於集合 F(U)。我們可以看到 F(U) 是一個 U 上的連續實值函數的環上的,進一步講,若OX表示X上連續函數的層結構,則F是OX-模的一個層.

不是OX-模的每個層都是以這種方式從向量叢的導的:只有局部自由層可以從這種方法得到。(理由:局部的,我們要找一個投影U × RnU的一個截面,這些恰好是連續函數URn,並且這一函數是連續函數URn-元組.)

更進一步講:X上的實向量叢的範疇是等價於OX-模的局部自由和有限生成的層的。

所以我們可以將向量叢視為位於OX-模的層的範疇內;而後者是可交換的,所以我們可以計算向量叢的射的核。

向量叢上的操作

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兩個X上的在同一個域上的向量叢,有一個惠特尼和,在每點的纖維為那兩個叢的纖維的直積。同樣,纖維向量積對偶空間叢也可以這樣引入。

變種和推廣

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向量叢是纖維叢的特例。

光滑向量叢定義為滿足EX光滑流形,π : EX是光滑映射,而局部平凡化映射φ是微分同胚的向量叢。

把實向量空間換成複向量空間(complex vector space, 既純量為複數的向量空間),就得到了複向量叢(complex vector bundle)。這是結構群的約化的特例。也可以用其他拓撲域上的向量空間,但相對比較少見。

除了有限維的向量空間以外,如果纖維是某個巴拿赫空間(而不僅是Rn),就可以得到巴拿赫叢.

參考

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  • Milnor, John W.; Stasheff, James D. Characteristic classes. Annals of Mathematics Studies, No. 76. Princeton University Press, Princeton, N. J.; University of Tokyo Press, Tokyo, 1974. vii+331 pp. ISBN 0-691-08122-0.