法丛

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数学领域之微分几何中,法丛normal bundle)是一个特殊的向量丛,得自一个嵌入浸入,是切丛的补。

定义[编辑]

黎曼流形[编辑]

是一个黎曼流形是一个黎曼子流形。对给定的,一个向量定义为的法向量,如果对所有(从而 正交)。这样的的集合称之为法空间

就像一个流形的法丛是由流形的所有切空间构造的,的法丛的全空间定义为

余法丛定义为法丛的对偶丛。它可以自然实现为余切丛的子丛。

一般定义[编辑]

更抽象地,给定一个浸入(比如嵌入),我们可以定义NM中的法丛,在每一点取M上的切丛对N的切丛的商空间。对黎曼流形我们可将商与正交补等同,但一般不可行(这样一种选取等价于投影的一个截面)。

从而法丛一般是周围空间对限制在子丛上切丛的商。

正式地,NM中的法丛是M的切丛的一个商丛: 我们有N上向量丛的短正合序列

这里M的切丛限制在N上(准确地说,M的切丛通过映射 拉回N上)。

稳定法丛[编辑]

抽象流形由一个典范切丛,但没有法丛:只有当一个流形嵌入(或浸入)另一个流形时诱导了一个法丛。但是,由惠特尼嵌入定理,每个流形可以嵌入在中,给了这样一个嵌入,每个流形有一个法丛。

一般没有自然的嵌入方式,但对给定的M,任何两个嵌入在中,对足够大N正则同伦的,从而诱导了相同的法丛。所得的法丛类(这是一个丛的类而不是一个特定的丛,因为N可以变)称为稳定法丛stable normal bundle)。

对偶于切丛[编辑]

法丛在K-理论的意义下对偶于切丛: 由上一个短正合序列,在格罗滕迪克群

浸入在中的情形,周围空间的法丛是平凡的(由于可缩,从而可平行化),故,从而

这在计算示性类时有用,可用于证明一个流形可浸入和可嵌入欧几里得空间中的下界