黎曼流形

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黎曼流形(Riemannian manifold)是一個微分流形,其中每點p切空間都定義了點積,而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度,角度,面積,體積,曲率,函數梯度向量域散度

每個Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量:把Rn點積都限制於切空間內。實際上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以這樣产生。

我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同构度量空間,等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从Rn导出的度量是相同的。这對建立黎曼幾何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間:

如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線,我們可以定義它的長度L(γ)為

L(\gamma) = \int_a^b \|\gamma'(t)\|\;dt

(注意:γ'(t)是切空間M在γ(t)點的元素; ||·||是切空間的內積所得出的範數。)

使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空間(甚至是長度度量空間):在xy兩點之間的距離dx, y)定義為:

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ是连接xy的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直線”的概念依然存在:那就是測地線.

在黎曼流形中,測地線完备的概念,和拓撲完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容.。

參看[编辑]

參考[编辑]

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2