黎曼流形

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黎曼流形(Riemannian manifold)是一個微分流形,其中每點p切空間都定義了點積,而且其數值隨p平滑地改變。它容許我們定義弧線長度、角度、面積、體積、曲率、函數梯度向量域散度

每個Rn的平滑子流形可以導出黎曼度量:把Rn點積都限制於切空間內。實際上,根據納什嵌入定理,所有黎曼流形都可以這樣產生。

我們可以定義黎曼流形為和Rn的平滑子流形是等距同構度量空間等距是指其內蘊度量(intrinsic metric)和上述從Rn導出的度量是相同的。這對建立黎曼幾何是很有用的。

黎曼流形可以定義為平滑流形,其中給出了一個切叢的正定二次形的光滑截面。它可產生度量空間:

如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段連續可微分的弧線,我們可以定義它的長度L(γ)為

(注意:γ'(t)是切空間M在γ(t)點的元素;||·||是切空間的內積所得出的範數。)

使用這個長度的定義,每個連通的黎曼流形M很自然的成為一個度量空間(甚至是長度度量空間):在xy兩點之間的距離dx, y)定義為:

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ是連接xy的一條光滑曲線}。

雖然黎曼流形通常是彎曲的,「直線」的概念依然存在:那就是測地線

在黎曼流形中,測地線完備的概念,和拓撲完備及度量完備是等價的:每個完備性都可以推出其他的完備性,這就是Hopf-Rinow定理的內容。

參看[編輯]

參考[編輯]

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2