黎曼流形

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黎曼流形(Riemannian manifold)是一个微分流形,其中每点p切空间都定义了点积,而且其数值随p平滑地改变。它容许我们定义弧线长度、角度、面积、体积、曲率、函数梯度向量域散度

每个Rn的平滑子流形可以导出黎曼度量:把Rn点积都限制于切空间内。实际上,根据纳什嵌入定理,所有黎曼流形都可以这样产生。

我们可以定义黎曼流形为和Rn的平滑子流形是等距同构度量空间等距是指其内蕴度量(intrinsic metric)和上述从Rn导出的度量是相同的。这对建立黎曼几何是很有用的。

黎曼流形可以定义为平滑流形,其中给出了一个切丛的正定二次形的光滑截面。它可产生度量空间:

如果γ : [a, b] → M是黎曼流形M中一段连续可微分的弧线,我们可以定义它的长度L(γ)为

(注意:γ'(t)是切空间M在γ(t)点的元素;||·||是切空间的内积所得出的范数。)

使用这个长度的定义,每个连通的黎曼流形M很自然的成为一个度量空间(甚至是长度度量空间):在xy两点之间的距离dx, y)定义为:

d(x,y) = inf{ L(γ) : γ是连接xy的一条光滑曲线}。

虽然黎曼流形通常是弯曲的,“直线”的概念依然存在:那就是测地线

在黎曼流形中,测地线完备的概念,和拓扑完备及度量完备是等价的:每个完备性都可以推出其他的完备性,这就是Hopf-Rinow定理的内容。

参看[编辑]

参考[编辑]

  • Jurgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin ISBN 3-540-4267-2