嵌入 (数学)

數學上，嵌入是指一個數學結構經映射包含到另一個結構中。某個物件 $X$ 稱為嵌入到另一個物件 $Y$ 中，是指有一個保持結構的單射$f:X\rightarrow Y$，這個映射 $f$ 就給出了一個嵌入。上述「保持結構」的準確意思，需由所討論的結構而定。一個保持結構的映射，在範疇論中稱為態射。

要表達 $f:X\rightarrow Y$ 是一個嵌入，有時會使用帶鉤箭號 $f\colon X\hookrightarrow Y$。但這個帶鉤箭號有時只留作表示包含映射時用。

拓撲與幾何

點集拓撲

拓撲學上，一個嵌入是一個單射，使得拓撲空間到其像上為同胚。換言之，兩個拓撲空間 $X$, $Y$之間的一個連續單射 $f:X\rightarrow Y$ 是一個拓撲嵌入，如果 $f$ 給出 $X$ 與 $f(X)$ 間的同胚（空間 $f(X)$ 上的拓撲是由 $Y$ 誘導的子空間拓撲。）凡是連續單射的開映射或閉映射都是拓撲嵌入，不過一個嵌入也可能既非開映射也非閉映射：當其像 $f(X)$ 不是 $Y$ 中的開集或閉集時，便發生這種情況。

微分拓撲

在微分拓撲中，令 $M$, $N$為光滑流形，而 $f:M\rightarrow N$ 為光滑映射。則如果f的微分處處皆為單射，則稱 $f$ 為一個浸入。此時的嵌入定義為一個符合拓撲嵌入定義的單射浸入，又稱為光滑嵌入。換言之，嵌入是微分同胚於其像，所以嵌入的像必是子流形。浸入是一個局部嵌入，即在每點$x\in M$，都有鄰域$U\ni x$，使得限制到這鄰域上的$f|_{U}\colon U\to N$是嵌入。如果$M$ 是緊緻流形，則M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一個重要情形是在 $N$ 為$\mathbb {R} ^{n}$時。這情形引起興趣之處，在於對任何 $m$ 維流形 $M$，$n$ 需多大才保證有從 $M$ 到$\mathbb {R} ^{n}$的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理指 $n=2m$ 便足夠，而且是最好的上界。例如嵌入一個 $m$ 維的實射影平面便需要 $n=2m$。

如果將光滑嵌入的定義中，$f$ 為光滑映射的條件放寬為 $C^{k}$映射，其中 $k$ 是正整數，而其餘條件不變，則$f$ 稱為 $C^{k}$ 嵌入。

黎曼幾何

在黎曼幾何中，設$(M,g)$, $(N,h)$是黎曼流形，一個等距嵌入是一個光滑嵌入 $f:M\rightarrow N$，令黎曼度量保持不變，即將 $h$ 由 $f$ 拉回等於 $g$，就是 $g=f^{*}(h)$。更明確言之，對 $M$ 中任何一點$x$，及任何兩個切向量

$v,w\in T_{x}(M)$

都有

$g(v,w)=h(df(v),df(w)).$

度量空間

設$X$, $Y$為度量空間，映射$f\colon X\to Y$是一個拓撲嵌入。如果 $f$ 和$f^{-1}$（定義在 $f(X)$ 上）都是利普希茨連續，則稱 $f$ 為雙利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。換言之，如果存在常數$L\geq 1$，使得

${\frac {1}{L}}\ d_{X}(x,y)\leq d_{Y}(f(x),f(y))\leq L\ d_{X}(x,y)$，

則稱 $f$ 為($L$-)雙利普希茨嵌入。

一個更廣義的嵌入是擬對稱嵌入(quasisymmetric embedding)。如前設 $f$ 為拓撲嵌入。$f$ 稱為($\eta$-)擬對稱嵌入，如果存在同胚 $\eta \colon [0,\infty )\to [0,\infty )$（即 $\eta (0)=0$ 且 $\eta$ 為嚴格遞增的連續函數），使得 $X$ 中任何三點 $x$, $a$, $b$若滿足

$d_{X}(x,a)\leq t\ d_{X}(x,b)$，

其中 $t>0$，則有

$d_{Y}(f(x),f(a))\leq \eta (t)\ d_{Y}(f(x),f(b)).$

若 $f$ 是一個 $L$-雙利普希茨嵌入，可令 $\eta (t)=L^{2}t$，則 $f$ 是 $\eta$-擬對稱嵌入。

雙利普希茨嵌入的一個相關概念是擬等距嵌入。擬等距嵌入雖名為嵌入，卻不一定是嵌入，因其未必是單射。

代數

域論

域論上，從一個域 $E$ 到另一個域 $F$ 中的一個嵌入，是一個環同態 $\sigma :E\rightarrow F$。因為環同態的核是一個理想，而域的理想只有0及整個域本身，又 $\sigma (1)=1$，故其核不能為整個域，即知核為0。因此這個環同態必定是單態射，而 $E$ 和在 $F$ 中的 $\sigma (E)$ 同構。所以可稱兩個域之間的任何同態為嵌入。

序理論

關於序理論中的嵌入，可參見序嵌入。

參考

• Sharpe, R.W., Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
• Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3 .
• Heinonen, Juha, Lecture on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95104-0 .