嵌入 (数学)

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数学上,嵌入是指一个数学结构映射包含到另一个结构中。某个物件X称为嵌入到另一个物件Y中,是指有一个保持结构的单射f: XY,这个映射f就给出了一个嵌入。上述“保持结构”的准确意思,需由所讨论的结构而定。一个保持结构的映射,在范畴论中称为态射

要表达f: XY是一个嵌入,有时会使用带钩箭号。但这个带钩箭号有时只留作表示包含映射时用。

拓扑与几何[编辑]

点集拓扑[编辑]

拓扑上,一个嵌入是一个单射,使得拓扑空间到其上为同胚。换言之,两个拓扑空间X, Y之间的一个连续单射f: XY是一个拓扑嵌入,如果f给出Xf(X)间的同胚(空间f(X)上的拓扑是由Y诱导的子空间拓扑。)凡是连续单射的开映射闭映射都是拓扑嵌入,不过一个嵌入也可能既非开映射也非闭映射:当其f(X)不是Y中的开集闭集时,便发生这种情况。

微分拓扑[编辑]

微分拓扑中,令M, N光滑流形,而f: MN光滑映射。则如果f微分处处皆为单射,则称f为一个浸入。此时的嵌入定义为一个符合拓扑嵌入定义的单射浸入,又称为光滑嵌入。换言之,嵌入是微分同胚于其像,所以嵌入的像必是子流形浸入是一个局部嵌入,即在每点,都有邻域,使得限制到这邻域上的是嵌入。如果M紧致流形,则M的浸入必是嵌入。

光滑嵌入的一个重要情形是在N时。这情形引起兴趣之处,在于对任何m维流形Mn需多大才保证有从M的光滑嵌入。惠特尼嵌入定理n = 2m便足够,而且是最好的上界。例如嵌入一个m维的实射影平面便需要n = 2m

如果将光滑嵌入的定义中,f为光滑映射的条件放宽为Ck映射,其中k正整数,而其余条件不变,则f称为Ck嵌入

黎曼几何[编辑]

黎曼几何中,设(M,g), (N,h)是黎曼流形,一个等距嵌入是一个光滑嵌入f: MN,令黎曼度量保持不变,即将hf拉回等于g,就是。更明确言之,对M中任何一点x,及任何两个切向量

都有

度量空间[编辑]

X, Y度量空间,映射是一个拓扑嵌入。如果f(定义在f(X)上)都是利普希茨连续,则称f双利普希茨嵌入(bi-Lipschitz embedding)。换言之,如果存在常数,使得

则称f为(L-)双利普希茨嵌入。

一个更广义的嵌入是拟对称嵌入(quasisymmetric embedding)。如前设f为拓扑嵌入。f称为(η-)拟对称嵌入,如果存在同胚(即η(0)=0且η严格递增连续函数),使得X中任何三点x, a, b若满足

其中t > 0,则有

f是一个L-双利普希茨嵌入,可令,则fη-拟对称嵌入。

双利普希茨嵌入的一个相关概念是拟等距嵌入。拟等距嵌入虽名为嵌入,却不一定是嵌入,因其未必是单射

代数[编辑]

域论[编辑]

域论上,从一个E到另一个域F中的一个嵌入,是一个环同态σ: EF。因为环同态的是一个理想,而域的理想只有0及整个域本身,又σ(1)=1,故其核不能为整个域,即知核为0。因此这个环同态必定是单态射,而E和在F中的σ(E)同构。所以可称两个域之间的任何同态为嵌入。

序理论[编辑]

关于序理论中的嵌入,可参见序嵌入

参考[编辑]

  • Sharpe, R.W., Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program, Springer-Verlag, New York, 1997, ISBN 0-387-94732-9 .
  • Warner, F.W., Foundations of Differentiable Manifolds and Lie Groups, Springer-Verlag, New York, 1983, ISBN 0-387-90894-3 .
  • Heinonen, Juha, Lecture on Analysis on Metric Spaces, Springer-Verlag, New York, 2001, ISBN 0-387-95104-0 .