擬等距同構

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擬等距同構數學度量空間之間的等價關係,著重在度量空間上的粗結構,而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間,看到其大概,而察看不出細處的分別。

定義[编辑]

設有兩個度量空間(X,d_X), (Y,d_Y),並有(未必連續的)映射f:X \to Y。若存在常數L \geq 1, C\geq 0,使得對所有x_1,x_2\in X,有

d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C

那麼稱映射f是(L, C)-粗利普希茨的。這條不等式,可視為f在長距離時差不多是L-利普希茨連續的。

若對所有x_1,x_2\in X,有

\frac 1 L d_X(x_1,x_2) - C \leq d_Y(f(x_1),f(x_2)) \leq L d_X(x_1,x_2) + C

那麼稱映射f是一個(L, C)-擬等距嵌入。雖然f不一定符合平常意義上的嵌入,即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上,但是對兩個相隔得足夠遠的點,這兩點的也是不同的。

擬等距映射有兩個等價定義:

  • f:X \to Y是(L, C)-粗利普希茨映射,且存在(L, C)-粗利普希茨映射g:Y \to X,使得對所有x\in X,所有y\in Y,都有
d_X(g(f(x)),x) \leq C
d_Y(f(g(y)),y) \leq C
那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。這兩條不等式,可視為在長距離時,f, g差不多是互為逆映射
  • f是一個(L, C)-擬等距嵌入,並且對任一點y\in Y,都存在x\in X使
d_Y(y,f(x)) \leq C
那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。這條不等式,是說Y中每一點距離Xf(X)都不超過C。對這定義的f,可以構造前一定義的g如下:對每一點y\in Y,取任一個x\in X使得d_Y(y,f(x)) \leq C,並令g(y):=x

這兩個定義中的L, C值可能不同。

兩個度量空間(X,d_X), (Y,d_Y)若存在(L, C)-擬等距映射f,則X, Y稱為(L, C)-擬等距同構[1]若常數L, C的值不要緊時,可以簡單地稱X, Y擬等距同構

對度量空間X, Y, Z,如果f_1:X\to Y, f_2:Y\to Z都是擬等距映射,那麼f_2 \circ f_1:X\to Z也是擬等距映射。

例子[编辑]

設函數f:\mathbb R \to \mathbb Z,以四捨五入方式,從實數映射到整數上。那麼f是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一,可以取L=1, C=1,而g:\mathbb Z \to \mathbb R可用g(x)=x。因此\mathbb R\mathbb Z是擬等距同構。\mathbb R\mathbb Z是擬等距同構。

對任何正整數n\mathbb R^n\mathbb Z^n間也有類似的擬等距映射,所以\mathbb R^n\mathbb Z^n是擬等距同構。

任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構,在兩者間的任何映射都是擬等距映射。

群論上的應用[编辑]

一個有限生成群G,其中任何兩個有限生成集合S, T賦予G兩個字度量d_S, d_T,那麼(G, d_S)(G, d_T)是擬等距同構。所以縱使G可以有多種不同的字度量,但都對應同一個擬等距同構類。因此,可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質,凡是於擬等距映射下不變的,都可以用為有限生成群的性質。幾何群論中的雙曲群正是一例。

如果一個有限生成群作用於一個度量空間,並滿足一些條件,根據施瓦茨-米爾諾引理,這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間,得知群的一些性質。

參考[编辑]

  1. ^ http://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/EPR/ggt.pdf Cornelia Drutu and Michael Kapovich, Lectures on Geometric Group Theory