擬等距同構

擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，著重在度量空間上的粗結構，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。

定義

設有兩個度量空間$(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$，並有（未必連續的）映射$f:X\to Y$。若存在常數$L\geq 1$, $C\geq 0$，使得對所有$x_{1},x_{2}\in X$，有

$d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C$

那麼稱映射 $f$ 是 $(L,C)$-粗利普希茨的。這條不等式，可視為 $f$ 在長距離時差不多是 $L$-利普希茨連續的。

若對所有$x_{1},x_{2}\in X$，有

${\frac {1}{L}}d_{X}(x_{1},x_{2})-C\leq d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Ld_{X}(x_{1},x_{2})+C$

那麼稱映射 $f$ 是一個 $(L,C)$-擬等距嵌入。雖然 $f$ 不一定符合平常意義上的嵌入，即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，但是對兩個相隔得足夠遠的點，這兩點的像也是不同的。

擬等距映射有兩個等價定義：

• 若$f:X\to Y$是 $(L,C)$-粗利普希茨映射，且存在 $(L,C)$-粗利普希茨映射$g:Y\to X$，使得對所有$x\in X$，所有$y\in Y$，都有

$d_{X}(g(f(x)),x)\leq C$

$d_{Y}(f(g(y)),y)\leq C$

那麼稱映射 $f$ 為 $(L,C)$-擬等距映射。這兩條不等式，可視為在長距離時，$f$ , $g$差不多是互為逆映射。

• $f$ 是一個 $(L,C)$-擬等距嵌入，並且對任一點$y\in Y$，都存在$x\in X$使

$d_{Y}(y,f(x))\leq C$

那麼稱映射 $f$ 為 $(L,C)$-擬等距映射。這條不等式，是說 $Y$中每一點距離 $X$ 的像 $f(X)$ 都不超過 $C$。對這定義的 $f$，可以構造前一定義的 $g$ 如下：對每一點$y\in Y$，取任一個$x\in X$使得$d_{Y}(y,f(x))\leq C$，並令$g(y):=x$。

這兩個定義中的 $L$, $C$值可能不同。

兩個度量空間$(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$若存在 $(L,C)$-擬等距映射$f$，則$X$, $Y$稱為 $(L,C)$-擬等距同構。若常數 $L$, $C$ 的值不要緊時，可以簡單地稱 $X$, $Y$ 為擬等距同構。

對度量空間 $X$, $Y$, $Z$，如果$f_{1}:X\to Y$, $f_{2}:Y\to Z$都是擬等距映射，那麼$f_{2}\circ f_{1}:X\to Z$也是擬等距映射。

例子

設函數$f:\mathbb {R} \to \mathbb {Z}$，以四捨五入方式，從實數映射到整數上。那麼f是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一，可以取 $L=1$, $C=1$，而$g:\mathbb {Z} \to \mathbb {R}$可用$g(x)=x$。因此$\mathbb {R}$和$\mathbb {Z}$是擬等距同構。

對任何正整數 $n$，$\mathbb {R} ^{n}$和$\mathbb {Z} ^{n}$間也有類似的擬等距映射，所以$\mathbb {R} ^{n}$和$\mathbb {Z} ^{n}$是擬等距同構。

任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。

群論上的應用

一個有限生成群 $G$，其中任何兩個有限生成集合 $S$, $T$ 賦予 $G$ 兩個字度量$d_{S}$, $d_{T}$，那麼$(G,d_{S})$和$(G,d_{T})$是擬等距同構。所以縱使 $G$ 可以有多種不同的字度量，但都對應同一個擬等距同構類。因此，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質，凡是於擬等距映射下不變的，都可以用為有限生成群的性質。幾何群論中的雙曲群正是一例。

如果一個有限生成群作用於一個度量空間，並滿足一些條件，根據施瓦茨－米爾諾引理，這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間，得知群的一些性質。