擬等距同構

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擬等距同構數學度量空間之間的等價關係,著重在度量空間上的粗結構,而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間,看到其大概,而察看不出細處的分別。

定義[编辑]

設有兩個度量空間, ,並有(未必連續的)映射。若存在常數, ,使得對所有,有

那麼稱映射f是(L, C)-粗利普希茨的。這條不等式,可視為f在長距離時差不多是L-利普希茨連續的。

若對所有,有

那麼稱映射f是一個(L, C)-擬等距嵌入。雖然f不一定符合平常意義上的嵌入,即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上,但是對兩個相隔得足夠遠的點,這兩點的也是不同的。

擬等距映射有兩個等價定義:

  • 是(L, C)-粗利普希茨映射,且存在(L, C)-粗利普希茨映射,使得對所有,所有,都有
那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。這兩條不等式,可視為在長距離時,f, g差不多是互為逆映射
  • f是一個(L, C)-擬等距嵌入,並且對任一點,都存在使
那麼稱映射f為(L, C)-擬等距映射。這條不等式,是說Y中每一點距離Xf(X)都不超過C。對這定義的f,可以構造前一定義的g如下:對每一點,取任一個使得,並令

這兩個定義中的L, C值可能不同。

兩個度量空間, 若存在(L, C)-擬等距映射f,則X, Y稱為(L, C)-擬等距同構[1]若常數L, C的值不要緊時,可以簡單地稱X, Y擬等距同構

對度量空間X, Y, Z,如果, 都是擬等距映射,那麼也是擬等距映射。

例子[编辑]

設函數,以四捨五入方式,從實數映射到整數上。那麼f是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一,可以取L=1, C=1,而可用g(x)=x。因此是擬等距同構。是擬等距同構。

對任何正整數n間也有類似的擬等距映射,所以是擬等距同構。

任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構,在兩者間的任何映射都是擬等距映射。

群論上的應用[编辑]

一個有限生成群G,其中任何兩個有限生成集合S, T賦予G兩個字度量, ,那麼是擬等距同構。所以縱使G可以有多種不同的字度量,但都對應同一個擬等距同構類。因此,可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質,凡是於擬等距映射下不變的,都可以用為有限生成群的性質。幾何群論中的雙曲群正是一例。

如果一個有限生成群作用於一個度量空間,並滿足一些條件,根據施瓦茨-米爾諾引理,這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間,得知群的一些性質。

參考[编辑]

  1. ^ http://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/EPR/ggt.pdf Cornelia Drutu and Michael Kapovich, Lectures on Geometric Group Theory