线性微分方程

线性微分方程（英語：Linear differential equation）是数学中常见的一类微分方程。指以下形式的微分方程：

{\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)

其中方程左侧的微分算子 ${\mathcal {L}}$ 是线性算子， $y$ 是要解的未知函数，方程的右侧是一个已知函数。如果 $f$ ( $x$ ) $=$ 0，那么方程(*)的解的线性组合仍然是解，所有的解构成一个向量空间，称为解空间。这样的方程称为齐次线性微分方程。当 $f$ 不是零函数时，所有的解构成一个仿射空间，由对应的齐次方程的解空间加上一个特解得到。这样的方程称为非齐次线性微分方程。线性微分方程可以是常微分方程，也可以是偏微分方程。

简介

线性微分方程是一类特殊的微分方程。一个线性微分方程的解构成向量空间或仿射空间，因此可以应用相关的代数知识来讨论解的性质。线性微分方程的普遍形式为：

{\mathcal {L}}(y)=f\qquad \ldots \;\;(*)

其中的 ${\mathcal {L}}$ 是一个线性的微分算子，也就是说，设有两个函数 $y_{1}$ 和 $y_{2}$ 以及两个常数 $\lambda _{1}$ 和 $\lambda _{2}$ ，那么：

{\mathcal {L}}(\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2})=\lambda _{1}{\mathcal {L}}(y_{1})+\lambda _{2}{\mathcal {L}}(y_{2}).

如果 $f$ 是零函数，那么给定若干个方程(*)的解函数： $y_{1},y_{2},\cdots ,y_{m}$ 以及同样多的常数系数： $\lambda _{1},\lambda _{2},\cdots ,\lambda _{m}$ ，线性组合 $\lambda _{1}y_{1}+\lambda _{2}y_{2}+\cdots +\lambda _{m}y_{m}$ 仍然是方程(*)的解函数。这说明所有方程(*)的解函数构成一个线性空间 $V$ ，称为方程的解空间。如果 $f$ 不是零函数，那么考虑相应的齐次线性微分方程：

{\mathcal {L}}(y)=0\qquad \ldots \;\;(**)

设 $y^{s}$ 是方程(*)的一个解函数。 $y$ 方程(**)的任意一个解函数。则它们的和 $y^{s}+y$ 仍然是(*)的解函数。另一方面，给定方程(*)的两个解函数： $y_{1}^{s}$ 和 $y_{2}^{s}$ 。则它们的差 $y_{1}^{s}-y_{2}^{s}$ 会是方程(**)的解函数。这说明方程(*)的所有解函数都可以写成 $y^{s}+y,\;y\in V$ 的形式。其中 $V$ 是方程(**)的解空间。所以方程(*)的所有解函数构成一个仿射空间 $V'$ ，并且 $V'=y^{s}+V$ 。

常系数齐次线性微分方程

一种解线性微分方程的方法是欧拉发现的，他意识到这类方程的解都具有 $e^{zx}$ 的形式，其中 $z$ 是某个复数。因此，对于以下方程：

{\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+A_{1}{\frac {d^{n-1}y}{dx^{n-1}}}+\cdots +A_{n}y=0

我们设 $y=e^{zx}$ ，可得：

z^{n}e^{zx}+A_{1}z^{n-1}e^{zx}+\cdots +A_{n}e^{zx}=0.

两边除以e^zx，便得到了一个n次方程：

F(z)=z^{n}+A_{1}z^{n-1}+\cdots +A_{n}=0.\,

这个方程F(z) = 0称为特征方程。

一般地，把微分方程中以下的项

{\frac {d^{k}y}{dx^{k}}}\quad \quad (k=1,2,\dots ,n).

换成z^k，便可得到特征方程。这个方程有n个解：z₁, ..., z_n。把任何一个解代入e^zx，便可以得到微分方程的一个解：e^z_ix。由于齐次线性微分方程满足叠加原理，因此这些函数的任意线性组合仍然满足微分方程。

如果特征方程的根都不重复，我们便得到了微分方程的n个解。可以证明，这些解是线性独立的。于是，微分方程的通解就是y = C₁e^z₁x + C₂e^z₂x + …… + C_ne^z_nx，其中C₁、C₂、……、C_n是常数。

以上讨论了n个根全不相同的情形。如果这n个根中有两个（或多个）相同，用上面的方法就无法得出n个线性独立的解。但是，可以验证，如果z是特征方程的 m_z 重根，那么，对于 $k\in \{0,1,\dots ,m_{z}-1\}\,$ ， $y=x^{k}e^{zx}\,$ 就是微分方程的一个解。对每个特征根 z，都能得到 m_z 个解，所有这些解的线性组合就是方程的通解。

一般地，如果微分方程的系数A_i都是实数，那么它的解也应该表示成实数的形式。假如特征方程有复数根，那么它一定是成对的，也就是说，如果a + bi是特征方程的根，那么a - bi也是一个根。于是，y = e^{(a + bi)x}和y = e^{(a - bi)x}都是微分方程的解。但这两个解都是复数的形式。考虑到这两个解的任意线性组合也仍然是微分方程的解，我们可以把这两个解相加，再除以2，利用欧拉公式，便得到一个实数形式的解：y = e^axcosbx。如果把两个解相减，再除以2i，便得到另一个实数形式的解：y = e^axsinbx。于是，y = C₁e^axcosbx + C₂e^axsinbx就是微分方程的通解。

例子

求微分方程 $y''-4y'+5y=0\,$ 的通解。特征方程是 $z^{2}-4z+5=0\,$ ，它的根是2+i和2−i。于是， $y=C_{1}e^{2x}\cos {x}+C_{2}e^{2x}\sin {x}$ 就是微分方程的通解。

常系数非齐次线性微分方程

欲得到非齐次线性微分方程的通解，我们首先求出对应的齐次方程的通解，然后用待定系数法或常数变易法（日语：定数変化法）求出非齐次方程本身的一个特解，把它们相加，就是非齐次方程的通解。

待定系数法

考虑以下的微分方程：

{\frac {dy}{dx}}=y+e^{2x}.\!

对应的齐次方程是：

{\frac {dy}{dx}}=y.

它的通解是：

y=ce^{x}.\!

由于非齐次的部分是( $e^{2x}$ )，我们猜测特解的形式是：

y_{p}=Ae^{2x}.\!

把这个函数以及它的导数代入微分方程中，我们可以解出A：

{\frac {d}{dx}}\left(Ae^{2x}\right)=Ae^{2x}+e^{2x}\!

2Ae^{2x}=Ae^{2x}+e^{2x}\!

2A=A+1\,\!

A=1.\,\!

因此，原微分方程的解是：

y=ce^{x}+e^{2x}.\!

(

c\in R

)

常数变易法

假设有以下的微分方程：

y^{\prime \prime }+py^{\prime }+qy=f(x)

我们首先求出对应的齐次方程的通解 $\ y=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}$ ，其中C₁、C₂是常数，y₁、y₂是x的函数。然后我们用常数变易法求出非齐次方程的一个特解，方法是把齐次方程的通解中的常数C₁、C₂换成x的未知函数u₁、u₂，也就是：

y=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}.~~\mathrm {(1)}

两边求導數，可得：

y'=u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.

我们把函数u₁、u₂加上一条限制：

u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}=0.~~\mathrm {(2)}

于是：

y'=u_{1}y_{1}'+u_{2}y_{2}'.~~\mathrm {(3)}

两边再求導數，可得：

y''=u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''.~~\mathrm {(4)}

把(1)、(3)、(4)代入原微分方程中，可得：

u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{1}y_{1}''+u_{2}y_{2}''+pu_{1}y_{1}'+pu_{2}y_{2}'+qu_{1}y_{1}+qu_{2}y_{2}=f(x).

整理，得：

u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+(u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1})+(u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2})=f(x).

由于y₁和y₂都是齐次方程的通解，因此 $u_{1}y_{1}''+pu_{1}y_{1}'+qu_{1}y_{1}$ 和 $u_{2}y_{2}''+pu_{2}y_{2}'+qu_{2}y_{2}$ 都变为零，故方程化为：

u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'=f(x).~~\mathrm {(5)}

(2)和(5)联立起来，便得到了一个 $u_{1}'$ 和 $u_{2}'$ 的方程组，便可得到 $u_{1}'$ 和 $u_{2}'$ 的表达式；再积分，便可得到 $u_{1}$ 和 $u_{2}$ 的表达式。

这个方法也可以用来解高于二阶的非齐次线性微分方程。一般地，有：

u'_{j}=(-1)^{n+j}{\frac {W(y_{1},\ldots ,y_{j-1},y_{j+1}\ldots ,y_{n})_{0 \choose f}}{W(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}}.

其中W表示朗斯基行列式。

变系数线性微分方程

n阶的变系数微分方程具有以下形式：

p_{n}(x)y^{(n)}(x)+p_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots +p_{0}(x)y(x)=r(x).

一个例子是柯西-欧拉方程：

x^{n}y^{(n)}(x)+a_{n-1}x^{n-1}y^{(n-1)}(x)+\cdots +a_{0}y(x)=0.

变系数线性微分方程通常没有一般的方法可以求解，但一阶的变系数线性微分方程是例外。设有以下的一阶变系数线性微分方程：

\ Dy(x)+f(x)y(x)=g(x).

这个方程可以用积分因子求解，方法是把两边乘以 $e^{\int f(x)\,dx}$ ：

Dy(x)e^{\int f(x)\,dx}+f(x)y(x)e^{\int f(x)\,dx}=g(x)e^{\int f(x)\,dx},

用乘法定则，可以简化为：

D(y(x)e^{\int f(x)\,dx})=g(x)e^{\int f(x)\,dx}

两边积分，得：

y(x)e^{\int f(x)\,dx}=\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c~,

y(x)={\int g(x)e^{\int f(x)\,dx}\,dx+c \over e^{\int f(x)\,dx}}~.

也就是说，一阶线性微分方程 $y'(x)+p(x)y(x)=r(x)$ 的解是：

y=e^{-a(x)}\left(\int r(x)e^{a(x)}\,dx+\kappa \right)

其中 $\kappa$ 是积分常数，且

a(x)=\int {p(x)\,dx}.

例子

考虑以下一阶线性微分方程：

{\frac {dy}{dx}}+by=1.

p(x) = b，r(x) = 1，因此微分方程的解为：

y(x)=e^{-bx}\left({\frac {e^{bx}}{b}}+C\right)={\frac {1}{b}}+Ce^{-bx}.

拉普拉斯变换解微分方程

应用拉普拉斯变换解线性微分方程显得更为方便简单。

首先有以下关系：

{\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)

{\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)

{\mathcal {L}}\{f^{(n)}\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-\Sigma _{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0).

有如下微分方程：

\sum _{i=0}^{n}a_{i}f^{(i)}(t)=\phi (t).

该方程可变换为：

\sum _{i=0}^{n}a_{i}{\mathcal {L}}\{f^{(i)}(t)\}={\mathcal {L}}\{\phi (t)\}

则：

${\mathcal {L}}\{f(t)\}={{\mathcal {L}}\{\phi (t)\}+\sum _{i=1}^{n}a_{i}\sum _{j=1}^{i}s^{i-j}f^{(j-1)}(0) \over \sum _{i=0}^{n}a_{i}s^{i}}.$

其中 $f^{(k)}(0)$ 是初始条件。

f(t) 通过拉普拉斯反变换 ${\mathcal {L}}\{f(t)\}$ 求得。

参见

参考文献

Stanley J. Farlow(1994). An introduction to differential equations and their applications. McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-020030-0. p.131-139, p.158-162.