雅可比矩阵

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向量分析中,雅可比矩阵是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式

代数几何中,代数曲线雅可比行列式表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代數群,曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家卡爾·雅可比命名;英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]

雅可比矩阵[编辑]

假設某函數從 映到 , 其雅可比矩阵是從 的線性映射,其重要意義在于它表現了一个多變數向量函數的最佳线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于單變數函数的导数。 假设F:Rn→Rm 是一个从n维欧氏空间映射到到m维欧氏空间的函数。这个函数由m个实函数组成: y1(x1, ..., xn), ..., ym(x1, ...,xn)。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个m行n列的矩阵(m by n),这就是所谓的雅可比矩阵:

此矩阵用符號表示为:

,或者

这个矩阵的第i行是由梯度函数的转置yi(i=1,...,m)表示的

如果p 中的一点,Fp点可微分,根據高等微積分, JF(p) 是在这点的导数。在此情况下,JF(p)這個线性映射即 在点p附近的最优线性逼近,也就是說當 x 足夠靠近點p時,我們有

例子[编辑]

球坐标系到直角坐标系的转化由F函数给出:R × [0,π] × [0,2π] → R3

此坐标变换的雅可比矩阵是

R4的f函数:

其雅可比矩阵为:

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

在动力系统中[编辑]

考虑形为x' = F(x)的动力系统F : RnRn。如果F(x0) = 0,那么x0是一个驻点(又稱臨界點)。系统接近驻点时的行為跟JF(x0)的特征值相關。

雅可比行列式[编辑]

如果m = n,那么F是从n维空间到n维空间的函数,且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式,称为雅可比行列式

在某个给定点的雅可比行列式提供了F在接近该点时的表现的重要信息。例如,如果连续可微函数Fp点的雅可比行列式不是零,那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步,如果p点的雅可比行列式是正数,则Fp点的取向不变;如果是负数,则F的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值,就可以知道函数Fp点的缩放因子;这就是为什么它出现在换元积分法中。

例子[编辑]

设有函数F : R3R3,其分量为:

则它的雅可比行列式为:

从中我们可以看到,当x1x2同号时,F的取向相反;该函数处处具有反函数,除了在x1 = 0和x2 = 0时以外。

参看[编辑]

外部链接[编辑]