雅可比矩阵

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向量分析中,雅可比矩阵是函數的一阶偏导数以一定方式排列成的矩阵,其行列式称为雅可比行列式

代数几何中,代数曲线雅可比行列式表示雅可比簇:伴随该曲线的一个代數群,曲线可以嵌入其中。

它们全部都以数学家卡爾·雅可比命名;英文雅可比行列式"Jacobian"可以发音为[ja ˈko bi ən]或者[ʤə ˈko bi ən]

雅可比矩阵[编辑]

假設某函數從 映到 , 其雅可比矩阵是從 的線性映射,其重要意義在于它表現了一个多變數向量函數的最佳线性逼近。因此,雅可比矩阵类似于單變數函数的导数。 假设是一个从维欧氏空间映射到到维欧氏空间的函数。这个函数由个实函数组成: 。这些函数的偏导数(如果存在)可以组成一个列的矩阵,這個矩陣就是所谓的雅可比矩阵:

此矩阵用符號表示为:

,或者

这个矩阵的第行是由梯度函数的转置表示的

如果 中的一点,点可微分,根據高等微積分, 是在这点的导数。在此情况下,這個线性映射即 在点附近的最优线性逼近,也就是說當足夠靠近點時,我們有

例子[编辑]

球坐标系到直角坐标系的转化由函数给出︰

此坐标变换的雅可比矩阵是

函数:

其雅可比矩阵为:

此例子说明雅可比矩阵不一定为方阵。

在动力系统中[编辑]

考虑形为动力系统。如果,那么是一个驻点(又稱臨界點)。系统接近驻点时的行為跟特征值相關。

雅可比行列式[编辑]

如果,那么是从维空间到维空间的函数,且它的雅可比矩阵是一个方块矩阵。于是我们可以取它的行列式,称为雅可比行列式

在某个给定点的雅可比行列式提供了在接近该点时的表现的重要信息。例如,如果连续可微函数点的雅可比行列式不是零,那么它在该点附近具有反函数。这称为反函数定理。更进一步,如果点的雅可比行列式是正数,则点的取向不变;如果是负数,则的取向相反。而从雅可比行列式的绝对值,就可以知道函数点的缩放因子;这就是它出现在换元积分法中的原因。

例子[编辑]

设有函数,其分量为:

则它的雅可比行列式为:

从中我们可以看到,当同号时,的取向相反;该函数处处具有反函数,除了在时以外。

逆矩陣[编辑]

根據反函數定理,一個可逆函數(存在反函數的函數)的雅可比矩陣逆矩陣即為該函數的反函數雅可比矩陣。即,若函數在點的雅可比矩陣是連續且可逆的,則在點的某一鄰域內也是可逆的,且有

成立。相反,倘若雅可比行列式在某一個點不為零,那麽該函數在這個點的某一鄰域內可逆(存在反函數)。

一個多項式函數的可逆性與非經證明的雅可比猜想有關。其斷言,如果函數的雅可比行列式為一個非零實數(相當於其不存在複零點),則該函數可逆且其反函數也為一個多項式。

参看[编辑]

外部链接[编辑]