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巴塞尔问题

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巴塞尔问题是一个著名的数论问题,这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出,由莱昂哈德·欧拉在1735年解决。由于这个问题难倒了以前许多的数学家,欧拉一解出这个问题马上就出名了,当时他二十八岁。欧拉把这个问题作了一番推广,他的想法后来被黎曼在1859年的论文《论小于给定大数的质数个数》(On the Number of Primes Less Than a Given Magnitude)中所采用,论文中定义了黎曼ζ函数,并证明了它的一些基本的性质。这个问题是以瑞士的第三大城市巴塞尔命名的,它是欧拉和伯努利家族的家乡。

这个问题是精确计算所有平方数倒数的和,也就是以下级数的和:

这个级数的和大约等于1.644934OEIS中的数列A013661)。巴塞尔问题是寻找这个数的准确值,并证明它是正确的。欧拉发现准确值是,并在1735年公布。他的证明还不是十分严密,真正严密的证明在1741年给出。

欧拉对这个问题的研究[编辑]

欧拉最初推导的方法是聪明和新颖的。他把有限多项式的观察推广到无穷级数,并假设相同的性质对于无穷级数也是成立的。当然,欧拉的想法不是严密的,还需要进一步证明,但他计算了级数的部分和后发现,级数真的趋于,不多不少。这给了他足够的自信心,把这个结果公诸于众。

欧拉的方法是从正弦函数泰勒级数展开式开始:

两边除以,得:

现在,的根出现在,其中我们假设可以把这个无穷级数表示为线性因子的乘积,就像把多项式因式分解一样:

如果把这个乘积展开,并把所有的项收集在一起,我们可以看到, 的二次项系数为:

但从原先的级数展开式中可以看出,的系数是。这两个系数一定是相等的;因此,

等式两边乘以就可以得出所有平方数的倒数之和。

证毕。

黎曼ζ函数[编辑]

黎曼ζ函数ζ(s)是数学中的一个很重要的函数,因为它与素数的分布密切相关。这个函数对于任何实数部分大于1的复数s都是有定义的,由以下公式定义:

s = 2,我们可以看出ζ(2)等于所有平方数的倒数之和:

用以下的等式,可以证明这个级数收敛:

因此ζ(2)的上界小于2,因为这个级数只含有正数项,它一定是收敛的。可以证明,当s是正的偶数时,ζ(s)可以用伯努利数来表示。设,有以下公式:

严密的证明[编辑]

以下介绍了一个ζ(2) = π2/6的证明。它是目前已知最基本的证明,大部分其它的证明都需要用到傅里叶分析复分析多变量微积分,但这个证明连一元微积分也不需要(在证明的最后部分需要使用极限的概念)。

File:Limit circle FbN.jpeg
圆心为O,半径为r的圆形

考虑面积,

这个证明的想法是把以下的部分和固定在两个表达式之间,这两个表达式当m趋于无穷大时都趋于π2/6。

这两个表达式从余切和余割的恒等式推出。而这些恒等式则从棣莫弗定理推出。

x为一个实数,满足0 < x < π/2,并设n为正整数。从棣莫弗定理和余切函数的定义,可得:

根据二项式定理,我们有:

把两个方程合并,由于相等的两个复数的虚数部分也一定相等,因此有:

固定一个正整数m,设n = 2m + 1,并考虑xr = r π/(2m + 1)对于r = 1、2、……、m。那么nxr是π的倍数,因此是正弦函数的零点,所以:

对于所有的r = 1、2、……、mx1、……、xm是区间(0, π/2)内不同的数。由于函数cot2 x在这个区间内是一一对应的,因此当r = 1、2、……、m时,tr = cot2 xr的值各不同。根据以上方程,这些m个"tr"是以下m次多项式的根:

根据韦达定理,我们可以直接从这个多项式的头两项计算出所有根的和,因此:

把恒等式csc2 x = cot2 x + 1代入,可得:

现在考虑不等式cot2 x < 1/x2 < csc2 x。如果我们把对于xr = r π/(2m + 1)的所有不等式相加起来,并利用以上的两个恒等式,便可得到:

把不等式乘以(π/(2m + 1))2,便得:

m趋于无穷大时,左面和右面的表达式都趋于π2/6,因此根据夹挤定理,有:

证毕。

傅里叶级数的证明[编辑]

设有函数,其定义域为。这个函数的傅里叶级数是:

根据帕塞瓦尔恒等式,我们有:

因此

证毕。

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]