夾擠定理

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夾擠定理,又稱三明治定理,是有關函數極限定理。它指出若有兩個函數在某點的極限相同,且有第三個函數的值在這兩個函數之間,则第三個函數在該點的極限也相同。

為包含某點區間為定義在上的函數。若對於所有屬於而不等於,有:

分別稱為下界上界

若在的端點,上面的極限是左極限或右極限。 對於,這個定理還是可用的。

例子[编辑]

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在任何包含0的區間上,除了均有定義。

對於實數值,正弦函數的絕對值不大於1,因此的絕對值也不大於。設,

,根據夾擠定理

(注:這個問題不可以用洛必達法則解決。)

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首先用幾何方法證明:若

Circle-trig6.svg

稱(1,0)為D。A是單位圓圓周右上部分的一點。上,使得垂直。過作單位圓的切線,與的延長線交於

由定義可得

因為,根據夾擠定理

另一邊的極限可用這個結果求出。

高斯函數[编辑]

高斯函數積分的應用包括連續傅立葉變換和正交化。 一般高斯函數的積分是,現在要求的是

被積函數對於y軸是對稱的,因此是被積函數對於所有實數的積分的一半。

這個二重積分在一個的正方形內。它比其內切圓大,比外接圓小。這些可用極坐標表示:

證明[编辑]

極限為0的情況[编辑]

,而且

,根據函數的極限的定義,存在使得:若,則

由於 ,故

,則。於是,

一般情況[编辑]

根據上面已證的特殊情況,可知
。 ■