微积分学教程

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微积分学教程》(俄語:Курс дифференциального и интегрального исчисления),是苏联数学家菲赫金哥尔茨[1]数学分析课程撰写的一本教程。书中所包含的主要理论是20世纪初最后形成的现代数学分析的经典部分,其内容是在大学的第一、二年级讲授。

全书共分为三卷,第一卷包括实数理论、实变数一元与多元微分学及其应用;第二卷研究黎曼积分理论与级数理论;第三卷研究多重积分、曲线积分、曲面积分、斯蒂尔切斯积分、傅里叶级数与傅里叶变换。此教程篇幅巨大、内容丰富并含有大量例题及应用实例,定理证明详尽细致、处理方法经典,理论内容论述深刻。种种原因使得全书被译为多种文字,并在中、东欧国家及中国大陆广为流传。目前最新中译版是高等教育出版社第八版。

作者[编辑]

《微积分学教程》的作者菲赫金哥尔茨是苏联数学家及数学教育家,是实变函数论列宁格勒学派的奠基人。他致力于研究实变函数论泛函分析,在函数度量理论的一系列工作使其成为这个领域中的一流数学家。

菲赫金哥尔茨讲学30余年的数学分析课程,苏联数学家伊西多尔·保罗维奇·那汤松謝爾蓋·里沃維奇·索伯列夫Dmitry Konstantinovich Faddeev,力学家Sergey Khristianovich,以及诺贝尔经济学奖得主坎托罗维奇都是他的学生。此外,他还是苏联第一届数学奥林匹克的发起人、20世纪30年代苏联中学数学教学大纲的制定者。

目录[编辑]

第一卷[编辑]

  • 绪论 实数
    • §1 有理数
    • §2 无理数的导入.实数域的序
    • §3 实数的算术运算
    • §4 实数的其他性质及应用
  • 第一章 极限
    • §1 整序变量及其极限
    • §2 极限的定理.若干容易求得的极限
    • §3 单调整序变量
    • §4 收敛原理.部分极限
  • 第二章 一元函数
    • §1 函数概念
    • §2 函数的极限
    • §3 无穷小及无穷大的分阶
    • §4 函数的连续性及间断
    • §5 连续函数的性质
  • 第三章 导数微分
    • §1 导数及其求法
    • §2 微分
    • §3 微分学的基本定理
    • §4 高阶导数及高阶微分
    • §5 泰勒公式
    • §6 插值法
  • 第四章 利用导数研究函数
    • §1 函数动态的研究
    • §2 凸(与凹)函数
    • §3 函数的作图
    • §4 不定式的定值法
    • §5 方程的近似解
  • 第五章 多元函数
    • §1 基本概念
    • §2 连续函数
    • §3 多元函数的导数及微分
    • §4 高阶导数及高阶微分
    • §5 极值.最大值及最小值
  • 第六章 函数行列式及其应用
    • §1 函数行列式的性质
    • §2 隐函数
    • §3 隐函数理论的一些应用
    • §4 换元法
  • 第七章 微分学在几何上的应用
    • §1 曲线及曲面的解析表示法
    • §2 切线及切面
    • §3 曲线的相切
    • §4 平面曲线的长
    • §5 平面曲线的曲率
  • 附录 函数扩充的问题

第二卷[编辑]

  • 第八章 原函数不定积分
    • §1 不定积分与它的计算的最简单方法
    • §2 有理式的积分
    • §3 某些含有根式的函数的积分
    • §4 含有三角函数与指数函数的表达式的积分
    • §5 椭圆积分
  • 第九章 定积分
    • §1 定积分的定义与存在条件
    • §2 定积分的一些性质
    • §3 定积分的计算与变换
    • §4 定积分的一些应用
    • §5 积分的近似计算
  • 第十章 积分学在几何学、力学物理学中的应用
  • 第十一章 常数项无穷级数
    • §1 引言
    • §2 正项级数的收敛性
    • §3 任意项级数的收敛性
    • §4 收敛级数的性质
    • §5 累级数与二重级数
    • §6 无穷乘积
    • §7 初等函数的展开
    • §8 藉助于级数作近似计算
    • §9 发散级数的求和法
  • 第十二章 函数序列与函数级数
    • §1 一致收敛
    • §2 级数和的函数性质
    • §3 应用
    • §4 关于幂级数的补充知识
    • §5 复变量的初等函数
    • §6 包络级数与渐近级数.欧拉-麦克劳林公式
  • 第十三章 反常积分
    • §1 积分限为无穷的反常积分
    • §2 无界函数的反常积分
    • §3 反常积分的性质与变形
    • §4 反常积分的特别计算法
    • §5 反常积分的近似计算
  • 第十四章 依赖于参数的积分
    • §1 基本理论
    • §2 积分的一致收敛性
    • §3 积分一致收敛性的应用
    • §4 补充
    • §5 欧拉积分

第三卷[编辑]

  • 第十五章 曲线积分、斯蒂尔切斯积分
    • §1 第一型曲线积分
    • §2 第二型曲线积分
    • §3 曲线积分与道路无关的条件
    • §4 有界变差函数
    • §5 斯蒂尔切斯积分
  • 第十六章 二重积分
    • §1 二重积分的定义及简单性质
    • §2 二重积分的计算
    • §3 格林公式
    • §4 二重积分中的变量变换
    • §5 反常二重积分
  • 第十七章 曲面面积、曲面积分
    • §1 双侧曲面
    • §2 曲面面积
    • §3 第一型曲面积分
    • §4 第二型曲面积分
  • 第十八章 三重积分及多重积分
    • §1 三重积分及其计算
    • §2 高斯-奥斯特洛格拉得斯基公式
    • §3 三重积分中的变量变换
    • §4 场论初步
    • §5 多重积分
  • 第十九章 傅里叶级数
    • §1 导言
    • §2 函数的傅里叶展开式
    • §3 补充
    • §4 傅里叶级数的收敛特性
    • §5 与函数可微分性相关的余项估值
    • §6 傅里叶积分
    • §7 应用
  • 第二十章 傅里叶级数(续)
    • §1 傅里叶级数的运算.完全性与封闭性
    • §2 广义求和法在傅里叶级数上应用
    • §3 函数的三角展开式的唯一性
  • 附录 极限的一般观点

注释[编辑]

  1. ^ Fikhtengolz. (原始内容存档于2009-10-09). 

外部链接[编辑]