Β函数

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Β函数,又称为贝塔函数或第一类欧拉积分,是一个特殊函数,由下式定义:

其中

性质[编辑]

Β函数具有以下對稱性質:

当x,y是正整数的时候,我们可以从伽马函数定义得到如下式子:

它有许多其它的形式,包括:

其中伽玛函数

就像伽玛函数描述了阶乘一样,我们也可以用贝塔函数来定义二项式系数

伽玛函数与贝塔函数之间的关系[编辑]

为了推出两种函数之间的关系,我们把两个阶乘的乘积写为:

现在,设, ,因此:

利用变量代换,可得:

因此,有:

导数[编辑]

贝塔函数的导数是:

其中双伽玛函数

估计[编辑]

斯特灵公式给出了一个用来近似计算贝塔函数的公式:

不完全贝塔函数[编辑]

不完全贝塔函数是贝塔函数的一个推广,把贝塔函数中的定积分不定积分来代替,就像不完全伽玛函数是伽玛函数的推广一样。

不完全贝塔函数定义为:

x = 1,上式即化为贝塔函数。

正则不完全贝塔函数(或简称正则贝塔函数)由贝塔函数和不完全贝塔函数来定义:

ab是整数时,计算以上的积分(可以用分部积分法),可得:

正则不完全贝塔函数是Β分布累積分布函數,可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布:

其中p為試驗成功機率,n為樣本數。

性质[编辑]

参见[编辑]

参考文献[编辑]

外部链接[编辑]