Β函數

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Β函數,又稱為貝塔函數第一類歐拉積分,是一個特殊函數,由下式定義:

其中

性質[編輯]

Β函數具有以下對稱性質:

當x,y是正整數的時候,我們可以從伽馬函數定義得到如下式子:

它有許多其它的形式,包括:

其中伽瑪函數

就像伽瑪函數描述了階乘一樣,我們也可以用貝塔函數來定義二項式係數

伽瑪函數與貝塔函數之間的關係[編輯]

為了推出兩種函數之間的關係,我們把兩個階乘的乘積寫為:

現在,設, ,因此:

利用變量代換,可得:

因此,有:

導數[編輯]

貝塔函數的導數是:

其中雙伽瑪函數

估計[編輯]

斯特靈公式給出了一個用來近似計算貝塔函數的公式:

不完全貝塔函數[編輯]

不完全貝塔函數是貝塔函數的一個推廣,把貝塔函數中的定積分不定積分來代替,就像不完全伽瑪函數是伽瑪函數的推廣一樣。

不完全貝塔函數定義為:

x = 1,上式即化為貝塔函數。

正則不完全貝塔函數(或簡稱正則貝塔函數)由貝塔函數和不完全貝塔函數來定義:

ab是整數時,計算以上的積分(可以用分部積分法),可得:

正則不完全貝塔函數是Β分布累積分布函數,可由二項式分布描述一個實隨機變量X的機率分布:

其中p為試驗成功機率,n為樣本數。

性質[編輯]

參見[編輯]

參考文獻[編輯]

外部連結[編輯]