Β分布
概率密度函數  |
累積分布函數  |
参数 |
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值域 |
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概率密度函数 |
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累積分布函數 |
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期望值 |
![\operatorname {E}[x]={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0569ee58528ca526f9cdab57675a2d0d73bf4766)
![\operatorname {E}[\ln x]=\psi (\alpha )-\psi (\alpha +\beta )\!](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a2d06fc2308f395e3dbaed6bb7d0b975d38eb1) (见双伽玛函数) |
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中位數 |
无解析表达 |
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眾數 |
for  |
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方差 |
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偏度 |
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峰度 |
见文字 |
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熵 |
见文字 |
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矩生成函数 |
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特徵函数 |
(见合流超几何函数) |
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Β分布,亦称貝它分布、Beta 分布(Beta distribution),在概率论中,是指一组定义在
区间的连续概率分布,有两个母数
。
概率密度函数[编辑]
Β分布的概率密度函数是:
![{\begin{aligned}f(x;\alpha ,\beta )&={\frac {x^{{\alpha -1}}(1-x)^{{\beta -1}}}{\int _{0}^{1}u^{{\alpha -1}}(1-u)^{{\beta -1}}\,du}}\\[6pt]&={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}\,x^{{\alpha -1}}(1-x)^{{\beta -1}}\\[6pt]&={\frac {1}{{\mathrm {B}}(\alpha ,\beta )}}\,x^{{\alpha -1}}(1-x)^{{\beta -1}}\end{aligned}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/835449e193daf41f7721dec385b81fb4a16375b2)
其中
是Γ函数。随机变量X服从参数为
的Β分布通常写作

累积分布函数[编辑]
Β分布的累积分布函数是:

其中
是不完全Β函数,
是正则不完全贝塔函数。
参数为
Β分布的众数是:
[1]
期望值和方差分别是:


偏度是:
![{\frac {\operatorname {E}(X-\mu )^{3}}{[\operatorname {E}(X-\mu )^{2}]^{{3/2}}}}={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12bd747cbf5cc3410db8103716da3f202eff5b7)
峰度是:
![{\frac {\operatorname {E}(X-\mu )^{4}}{[\operatorname {E}(X-\mu )^{2}]^{{2}}}}-3={\frac {6[\alpha ^{3}-\alpha ^{2}(2\beta -1)+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e70dc91216082cdf757ded4e3ab81c15418d8cb2)
或:
![{\frac {6[(\alpha -\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)-\alpha \beta (\alpha +\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eea65a8d7c9e00ba6299b727eab679117776f41e)
阶矩是:

其中
表示递进阶乘幂。
阶矩还可以递归地表示为:

另外,

给定两个Β分布随机变量, X ~ Beta(α, β) and Y ~ Beta(α', β'), X的微分熵为:[2]

其中
表示双伽玛函数。
联合熵为:

其KL散度为:

外部連結[编辑]
参考文献[编辑]
- ^ Johnson, Norman L., Samuel Kotz, and N. Balakrishnan (1995). "Continuous Univariate Distributions, Vol. 2", Wiley, ISBN 978-0-471-58494-0.
- ^ A. C. G. Verdugo Lazo and P. N. Rathie. "On the entropy of continuous probability distributions," IEEE Trans. Inf. Theory, IT-24:120–122,1978.
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| | | 有限支集 离散单变量 | |
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| 无限支集 离散单变量 | |
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| 紧支集 连续单变量 | |
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| 半无限区间支集 连续单变量 | |
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| 无限区间支集 连续单变量 | |
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| 可变类型支集 连续单变量 | |
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| 混合连续离散单变量 | |
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| 多元(联合) | |
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| 定向 | |
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| 退化和奇异 | |
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| 族 | |
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