維格納半圓分布

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維格納半圓分布
Plot of the Wigner semicircle PDF
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維格納半圓分布是一以物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)命名的機率分佈。 其機率密度函數(Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果,因而其實其函數圖型是一半橢圓形。


for −RxR, and f(x) = 0 if R < |x|.


此機率分佈可做為一大小接近無限的隨機對稱矩陣,其特徵值(Eigenvalues) 的分布限制範圍。

它是一個經過縮放的Β分布(Beta Distribution)。精確而言:當此分佈之"Y"值是Beta分布的α(α = β = 3/2)時,則其"X"值(X = 2RYR)具備上述分佈特性。

性質[编辑]

第二種切比雪夫多項式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多項式 (Orthogonal Polynomial) 。  對於正整數n,此分佈之第2n動差(Moment)為:



此處 X是一隨機變數,而Cn是第n卡塔蘭數(Catalan number):



因此若"R"=2,此分佈之動差為卡塔蘭數。

(因為對稱性的關係,所有奇數項之動差皆為0)

若以 替代式子動差生成函數(Moment generating Function)內的x,則我們可以發現:



並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun §9.6.18)



式中的 是一變異貝索函數(Modified bessel functions)。

同樣地,其特徵方程式:



其中的 是貝索函數。( 詳見 Abramowitz and Stegun §9.1.20)。   若取一有限且接近0的實數 ,則維格納半圓分布成為一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。   微分方程式 (Differential equation)


 

與非古典機率的關係[编辑]

非古典機率 (free probability) 理論中,維格納半圓分布有著如同常態分佈 (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。 也就是說,在非古典機率中,累積量 (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。

參看[编辑]

參考[编辑]

相關連結[编辑]