
多元正态分布
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![]() Many samples from a multivariate (bivariate) Gaussian distribution centered at (1,3) with a standard deviation of 3 in roughly the (0.878, 0.478) direction (longer vector) and of 1 in the second direction (shorter vector, orthogonal to the longer vector). 概率多变量函數 | |
参数 | μ ∈ RN — 位置 Σ ∈ RN×N — 协方差矩阵 (半正定) |
---|---|
值域 | x ∈ μ+span(Σ) ⊆ RN |
概率多变量函数 | (仅当 Σ 为正定矩阵时) |
累積分布函數 | 解析表达式不存在 |
期望值 | μ |
眾數 | μ |
方差 | Σ |
熵 | |
矩生成函数 | |
特徵函数 |
多变量正态分布亦称为多变量高斯分布。它是单维正态分布向多维的推广。它同矩阵正态分布有紧密的联系。
一般形式[编辑]
N维随机向量如果服从多变量正态分布,必须满足下面的三个等價条件:
- 任何线性组合服从正态分布。
- 存在随机向量( 它的每个元素服从独立标准正态分布),向量及 矩阵满足.
注意这里的表示协方差矩阵的行列式。
- 二元的情况
在二维非奇异的情况下(k = rank(Σ) = 2),向量 [X Y]′ 的概率密度函数为:
其中 ρ 是 X 与 Y 之间的相关系数, 且 。在这种情况下,
參考資料[编辑]
- ^ UIUC, Lecture 21. The Multivariate Normal Distribution (页面存档备份,存于互联网档案馆), 21.5:"Finding the Density".
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