失效率

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失效率英语Failure rate)是一個工程系統或零件失效的頻率,單位通常會用每小時的失效次數,一般會用希臘字母λ表示,是可靠度工程中的重要參數。

系統的失效率一般會隨著時間及系統的生命週期而改變。例如車輛在第五年時的失效率會比第一年要高很多倍,一般新車是不會需要換排氣管、檢修煞車,也不會有重大傳動系統的問題。

實務上,一般會使用平均故障間隔(MTBF, 1/λ)而不使用失效率。若是失效率假設是定值的話,此作法是有效的(定值失效率的假設一般常用在複雜元件/糸統,軍事或航天的一些可靠度標準中的也接受此假設),不過只有在浴缸曲線英语Bathtub curve中平坦的部份(這也稱為「可用生命期」)才符合失效率是定值的情形,因此不適合將平均故障間隔外插去預估元件的生命期,因為當時會碰到浴缸曲線的损耗阶段,失效率會大幅提高,生命期會較依失效率推算的時間要少。

失效率一般會用固定時間(例如小時)下的失效次數表示,原因是這樣的用法(例如2000小時)會比很小的數值(例如每小時0.0005次)容易理解及記憶。

在一些需要管理失效率的系統(特別是安全系統)中,平均故障間隔是重要的系統參數。平均故障間隔常出現在工程設計要求中,也決定了系統維護及檢視的頻率。

失效率是保險、財務、商業及管制行业中的一個重要因子,也是安全系統設計的基礎,應用在許多不同的場合中。

风险率(Hazard rate)及故障发生率(rate of occurrence of failures, ROCOF)的定義和失效率不同,常誤認為和失效率定義相同。

離散定義下的失效率[编辑]

失效率可以用以下的方式定義:

在一特定的測試條件及測試時間下,統計群體內失效次數總和,除以統計群體在失效前的測試時間總和[1]

雖然失效率\lambda (t)常被視為假設時間t前沒有失效的情形下,在一段特定時間內出現失效的機率,但失效率可能會大於1,因此其實不是機率。若錯誤的將失效率以%表示也很容易造成對於失效率不正確的認知失效率可以用可靠度函數來定義,可靠度函數也稱為生存函數,是在時間t之前沒有失效的機率。

\lambda(t) = \frac{f(t)}{R(t)},其中f(t)為(第一次)失效發生時間的分佈(失效密度函數),而R(t)=1-F(t).
\lambda(t) = \frac{R(t_1)-R(t_2)}{(t_2-t_1) \cdot R(t_1)}
 = \frac{R(t)-R(t+\triangle t)}{\triangle t \cdot R(t)} \!

在從時間t_1 (或t)到t_2之間時間區間(t_2-t_1),而\Delta t定義為(t_2-t_1)

連續定義下的失效率[编辑]

指數失效密度函數

計算較短時間區間下的失效率,可以得到風險率(或風險函數)h(t),是\scriptstyle\Delta t 趨近於零時的瞬時失效率:

h(t)=\lim_{\Delta t \to 0} \frac{R(t)-R(t+\Delta t)}{\Delta t \cdot R(t)}.

連續的失效率和失效分佈\scriptstyle F(t)有關,失效分佈是描述失效機率的累积分布函数

\operatorname{Pr}(T\le t)=F(t)=1-R(t),\quad t\ge 0. \!

其中{T}失效時間。

失效分佈函數是機率密度函數f(t)的積分

F(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\, d\tau. \!

風險函數可以定義為

h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}=\frac{f(t)}{R(t)}.

許多機率分佈可以用來做為失效分佈的建模,常見的模型是指數失效分佈:

F(t)=\int_{0}^{t} \lambda e^{-\lambda \tau}\, d\tau = 1 - e^{-\lambda t}, \!

是以指數分佈為基礎的失效分佈,風險函數為:

h(t) = \frac{f(t)}{R(t)} = \frac{\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}} = \lambda .

因此對於指數失效分佈,風險函數對時間為定值(分佈為無記憶性英语Memorylessness)。但對於像韦伯分布或对数正态分布等其他分佈,風險函數對時間可能不是定值。

失效率遞減[编辑]

失效率遞減(DFR)是指一零件或系統在一段特定時間內,失效率會隨著時間而減小的現象。像早期失效已被移除或是修正後,就會有一段時間有失效率遞減的情形[2],此時的λ(t)為遞減函數。

DFR的隨機變數混合後仍為DFR[3],而指数分布的隨機變數混合後也是為DFR[4]

應用[编辑]

失效率遞增是因為零件老化所造成,失效率遞減則是指一個系統會隨著時間而漸漸強化[4]。 在太空船的生命期中有發現失效率遞減的情形,Baker和Baker的註解是「這太空船會一直一直維持下去。」[5][6]。太空船空調系統的可靠度發現符合指数分布,因此也會滿足失效率遞減的情形[4]

變異係數[编辑]

當失效率遞減時,其變異係數⩾ 1,當失效率遞增時,其變異係數 ⩽ 1.[7],不過這只在失效率是定義在整個t ⩾ 0的時間下才有效[8],而且無法由變異係數去反推失效率。

失效率資料[编辑]

失效率資料可以由許多方式求得,常見的有以下幾種方式:

待確認系統或設備的歷史資料
許多組織都對於生產設備或產品的故障有內部的資料庫,可以用來計算設備或系統的失效率。對於新的設備或是系統,則可以先用類似設備或是系統的失效率做為估計值。
政府或商用的失效率資料庫
政府及商業組織會有許多零件的失效率手冊。MIL-HDBK-217F(電子元件的可靠度預估)是有許多軍用電子零件牧失效率的軍用規範。也有許多商用的失效率資料庫,主要針對商用的零件,其至包括一些非電子的元件。
測試
最準確的方式是用實際的設備或是系統進行測試,以得到失效率資料。但此作法常有成本極其高昂或是不可行的缺點,因此會改用上述的作法。

單位[编辑]

失效率一般會用固定時間(例如小時)下的失效次數表示,不過也可以用其他的單位,像是公里數、旋轉圈數……等來代替固定的時間。

在工程應用上,因為失效率一般很低,個別零件失效率常以PPM表示,也就是每百萬工作小時的失效次數。

失效率也會以菲特(FIT, Failures In Time)表示[9],是109設備-小時下(例如一千個零件運轉百萬小時,一百萬個零件運轉一千小時……等)預期的失效次數,一般用在半導體產業中。

菲特和失效間隔時間(MTBF)之間的關係是MTBF = 1,000,000,000 x 1/FIT。

加成性[编辑]

在一定的工程假設下(例如固定的失效率,以及考慮的系統沒有明顯的冗餘英语Redundancy (engineering)),複雜系統的失效率可以表示為個別元件失效率的和,但各元件的失效率需要有一致的單位,例如每百萬工作小時等。因此可以測試每個別的元件或子系統,將其失效率加總後即可以得到整體的失效率[來源請求]

舉例[编辑]

假設要估計特定元件的失效率,可以用以下的測試方式測試其失效率。用十個完全相同的元件測試到損壞或是滿1000小時為止,(此例中不考慮 統計的信賴區間),記錄測試的總時間,以及總共損壞元件的個數,其結果如下:

\frac{6\text{ failures}}{7502\text{ hours}} = 0.0007998 \frac{\text{failures}}{\text{hour}} = 799.8 \times 10^{-6} \frac{\text{failures}}{\text{hour}},

或是每百萬工作小時會有799.8次失效。

估計[编辑]

尼爾森-艾倫估測子英语Nelson–Aalen estimator可以用來估計累積危險率函數。

相關條目[编辑]

參考資料[编辑]

  1. ^ MacDiarmid, Preston; Morris, Seymour; et al. Reliability Toolkit Commercial Practices. Rome, New York: Reliability Analysis Center and Rome Laboratory. n.d.: 35–39. 
  2. ^ Finkelstein, Maxim. Introduction. Failure Rate Modelling for Reliability and Risk. Springer Series in Reliability Engineering. 1–84. 2008. doi:10.1007/978-1-84800-986-8_1. ISBN 978-1-84800-985-1.  编辑
  3. ^ Brown, M. Bounds, Inequalities, and Monotonicity Properties for Some Specialized Renewal Processes. The Annals of Probability. 1980, 8 (2): 227. doi:10.1214/aop/1176994773. JSTOR 2243267‎.  编辑
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 Proschan, F. Theoretical Explanation of Observed Decreasing Failure Rate. Technometrics. 1963, 5 (3): 375–383. doi:10.1080/00401706.1963.10490105. JSTOR 1266340.  编辑
  5. ^ Baker, J. C.; Baker, G. A. S. . Impact of the space environment on spacecraft lifetimes. Journal of Spacecraft and Rockets. 1980, 17 (5): 479. doi:10.2514/3.28040.  编辑
  6. ^ Saleh, Joseph Homer; Castet, Jean-François. On Time, Reliability, and Spacecraft. Spacecraft Reliability and Multi-State Failures. 1. 2011. doi:10.1002/9781119994077.ch1. ISBN 9781119994077.  编辑
  7. ^ Wierman, A.; Bansal, N.; Harchol-Balter, M. A note on comparing response times in the M/GI/1/FB and M/GI/1/PS queues. Operations Research Letters. 2004, 32: 73. doi:10.1016/S0167-6377(03)00061-0.  编辑
  8. ^ Gautam, Natarajan. Analysis of Queues: Methods and Applications. CRC Press. 2012: 703. ISBN 1439806586. 
  9. ^ 电子产品制造技术 - 第 25 页 - Google 图书结果

外部連結[编辑]