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標準差

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標準差英语:Standard Deviation,SD),数学符号 σ(sigma),在概率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。標準差定義為方差算术平方根,反映组内个体间的离散程度;标准差与期望值之比为标准离差率。測量到分佈程度的結果,原則上具有兩種性質:

  1. 為非負數值;
  2. 與測量資料具有相同單位。

一個總量的標準差或一個隨機變量的標準差,及一個子集合樣品數的標準差之間,有所差別。其公式如下所列。

標準差的觀念是由卡爾·皮爾遜引入到統計中。

闡述及應用[编辑]

簡單來說,標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。一個較大的標準差,代表大部分的數值和其平均值之間差異較大;一個較小的標準差,代表這些數值較接近平均值。

例如,兩組數的集合{0, 5, 9, 14}和{5, 6, 8, 9}其平均值都是7,但第二個集合具有較小的標準差。

表述“相差k个标准差”,即在 μ ± kσ样本(Sample)范围内考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。例如在物理科學中,做重複性測量時,測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。當要決定測量值是否符合預測值,測量值的標準差佔有決定性重要角色:如果測量平均值與預測值相差太遠(同時與標準差數值做比較),則認為測量值與預測值互相矛盾。這很容易理解,因為如果測量值都落在一定數值範圍之外,可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上,可作為量度回報穩定性的指標。標準差數值越大,代表回報遠離過去平均數值,回報較不穩定故風險越高。相反,標準差數值越小,代表回報較為穩定,風險亦較小。

母體的標準差[编辑]

基本定義[编辑]

为平均值()。

簡易口訣:離均差平方和的平均;方均根。

简化计算公式[编辑]

上述公式可以如下代換而簡化:

所以:

根號裡面,亦即變異數)的簡易口訣為:「平方的平均」減去「平均的平方」。

母體為随机变量[编辑]

隨機變量的標準差定義為:

須注意並非所有隨機變量都具有標準差,因為有些隨機變量不存在期望值。 如果隨機變量具有相同機率,則可用上述公式計算標準差。

離散随机变量的标准差[编辑]

是由實數構成的離散隨機變數英语:discrete random variable),且每個值的機率相等,則的標準差定義為:

 ,其中 

換成用來寫,就成為:

 ,其中 

目前為止,與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個可以有不同機率,則的标准差定義為:

 ,其中 

连续随机变量的标准差[编辑]

為概率密度连续随机变量英语:continuous random variable),則的标准差定義為:

其中

标准差的特殊性质[编辑]

对于常数和随机变量

其中:
  • 表示随机变量协方差
  • 表示,即的變異數),對亦同。

样本的标准差[编辑]

在真实世界中,找到一个总体的真实的标准差是不现实的。大多数情况下,总体标准差是通过随机抽取一定量的样本并计算样本标准差估计的。

從一大組數值當中取出一樣本數值組合,常定義其樣本標準差

样本方差是对总体方差无偏估计中分母为(相較於母體中的分母為),是因为自由度,这是由于存在约束条件

範例[编辑]

這裡示範如何計算一組數的標準差。例如一群孩童年齡的數值為{ 5, 6, 8, 9 }:

  • 第一步,計算平均值
(因為集合裏有4個數),分別設為:
(此為平均值)
  • 第二步,計算標準差
(此為標準差)

常態分佈的規則[编辑]

深藍區域是距平均值小於一個標準差之內的數值範圍,在常態分佈中,此範圍所佔比率為全部數值之68%;兩個標準差之內(深藍,藍)的比率合起來為95%;三個標準差之內(深藍,藍,淺藍)的比率合起來為99.7%

在實際應用上,常考慮一組數據具有近似於常態分佈的機率分佈。若其假設正確,則約68%數值分佈在距離平均值有1個標準差之內的範圍,約95%數值分佈在距離平均值有2個標準差之內的範圍,以及約99.7%數值分佈在距離平均值有3個標準差之內的範圍。稱為「68-95-99.7法則」。

標準差與平均值之間的關係[编辑]

一組數據的平均值及標準差常常同時作為參考的依據。从某种意义上说,如果用平均值來考量數值的中心的话,則標準差也就是对统计的分散度的一个“自然”的测度。因为由平均值所得的标准差要小于到其他任何一个点的标准差。較確切的敘述為:設實數,定義函数

使用微積分或者通过配方法,不難算出在下面情況下具有唯一最小值:

几何学解释[编辑]

几何学的角度出发,标准差可以理解为一个从维空间的一个点到一条直线的距离的函数。举一个简单的例子,一组数据中有3个值,。它们可以在3维空间中确定一个。想像一条通过原点的直线。如果这组数据中的3个值都相等,则点就是直线上的一个点,的距离为0,所以标准差也为0。若这3个值不都相等,过点垂线垂直于于点,则的坐标为这3个值的平均数:

运用一些代数知识,不难发现点与点之间的距离(也就是点到直线的距离)是。在维空间中,这个规律同样适用,把换成就可以了。

外部链接[编辑]