平均数不等式

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平均数不等式,或称平均值不等式均值不等式,是数学上的一组不等式。它是说:

如果x_1, \ldots, x_n是正數,则

\frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
 \le \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \cdots x_n}
 \le \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n}
 \le \sqrt {{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2} \over n}

\frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}} \le \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \le \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} \le \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2 \over n}

当且仅当 x_1 = x_2 = \cdots = x_n ,等号成立。

即对这些正数:调和平均数几何平均数算术平均数平方平均数(均方根)

n = 2 时的情形[编辑]

  • 第一个不等号
\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 0\,\;
\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 4 x_1 x_2\,\;
1\,\; \ge \frac{4 x_1 x_2}{\left( x_1 + x_2 \right) ^2}\,\;
1\,\; \ge \frac{2 \sqrt{x_1 x_2}}{ x_1 + x_2 }\,\;
\sqrt{x_1 x_2}\,\; \ge \frac{2 x_1 x_2}{ x_1 + x_2 } = \frac{2}{ \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} }\,\;
  • 第二个不等号
\left( x_1 - x_2 \right) ^2 = x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 0\,\;
\left( x_1 + x_2 \right) ^2 = x_1^2 + 2 x_1 x_2 + x_2^2\,\; \ge 4 x_1 x_2\,\;
\left( \frac{x_1 + x_2}{2} \right)^2\,\; \ge x_1 x_2\,\;
\frac{x_1 + x_2}{2}\,\; \ge \sqrt{x_1 x_2}\,\;
  • 第三个不等号
(\frac{ x_1 - x_2 }{2}) ^2 = \frac{x_1^2 - 2 x_1 x_2 + x_2^2}{4}\,\; \ge 0\,\;
\frac{x_1^2 + x_2^2}{2} = \frac{x_1^2 + x_2^2 + x_1^2 + x_2^2}{4}\,\; \ge \frac{2 x_1 x_2 + x_1^2 + x_2^2}{4} = \frac{(x_1 + x_2)^2}{4}\,\;
\sqrt{\frac{x_1^2 + x_2^2}{2}}\,\; \ge \frac{x_1 + x_2}{2}\,\;

参见[编辑]