移動平均

移動平均（英语：Moving Average，MA），又稱「移動平均線」簡稱均線，是技術分析中一種分析时间序列數據的工具。最常見的是利用股價、回報或交易量等變數計算出移動平均。

移動平均可撫平短期波動，反映出長期趨勢或周期。數學上，移動平均可視為一種卷积。

台股加權指數技術線圖：
上圖為K線和其移動平均線（SMA，周期：5,10,20,60,120,240）；
下圖為成交量和其均量（周期：5,20）。

簡單移動平均[编辑]

比較：圖中同時呈現20日移動平均線-SMA、EMA和WMA。

簡單移動平均（英语：Simple Moving Average，SMA）是某變數之前n個數值的未作加權算術平均。例如，收市價的10日簡單移動平均指之前10日收市價的平均數。若設收市價為 $p_{1}$ $p_{1}$ 至 $p_{n}$ $p_{n}$ ，則方程式為：

SMA={p_{1}+p_{2}+\cdots +p_{n} \over n}

當計算連續的數值，一個新的數值加入，同時一個舊數值剔出，所以無需每次都重新逐個數值加起來：

SMA_{t1,n}=SMA_{t0,n}-{p_{1} \over n}+{p_{n+1} \over n}

在技術分析中，不同的市場對常用天數（n值）有不同的需求，例如：某些市場普遍的n值為10日、40日、200日；有些則是5日、10日、20日、60日、120日、240日，視乎分析時期長短而定。投資者冀從移動平均線的圖表中分辨出支持位或阻力位。

加權移動平均[编辑]

加權移動平均（英语：Weighted Moving Average，WMA）指計算平均值時將個別數據乘以不同數值，在技術分析中，n日WMA的最近期一個數值乘以n、次近的乘以n-1，如此類推，一直到0：

WMA_{M}={np_{M}+(n-1)p_{M-1}+\cdots +2p_{M-n+2}+p_{M-n+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}

WMA，N=15

由於 $WMA_{M+1}$ $WMA_{{M+1}}$ 與 $WMA_{M}$ $WMA_{{M}}$ 的分子相差 $np_{M+1}-p_{M}-\cdots -p_{M-n+1}$ $np_{M+1}-p_{M}-\cdots -p_{M-n+1}$ ，假設 $p_{M}+p_{M-1}+\cdots +p_{M-n+1}$ $p_{M}+p_{M-1}+\cdots +p_{M-n+1}$ 為總和_M：

總和_M+1

=

總和_M

+p_{M+1}-p_{M-n+1}

分子_M+1

=N_{M+1}=

分子_M

+np_{M+1}-

總和_M

WMA_{M+1}={N_{M+1} \over n+(n-1)+\cdots +2+1}

留意分母為三角形數，方程式為 $n(n+1) \over 2$ ${n(n+1) \over 2}$

右圖顯示出加權是隨日子遠離而遞減，直至遞減至零。

指數移動平均[编辑]

EMA，N=15

指數移動平均（英语：Exponential Moving Average，EMA或EWMA）是以指數式遞減加權的移動平均。各數值的加權影響力隨時間而指數式遞減，越近期的數據加權影響力越重，但較舊的數據也給予一定的加權值。右圖是一例子。

加權的程度以常數α決定，α數值介乎0至1。α也可用天數N來代表： $\alpha ={2 \over {N+1}}$ $\alpha ={2 \over {N+1}}$ ，所以，N=19天，代表α=0.1。

設時間t的實際數值為Y_t，而時間t的EMA則為S_t；時間t-1的EMA則為S_t-1，計算時間t≥2是方程式為：^[1]

S_{t}=\alpha \times Y_{t}+(1-\alpha )\times S_{t-1}

設今日（t1）價格為p，則今日（t1）EMA的方程式為：

{\text{EMA}}_{t1}={\text{EMA}}_{t0}+\alpha \times (p-{\text{EMA}}_{t0})

將 ${\text{EMA}}_{t0}$ ${\text{EMA}}_{t0}$ 分拆開來如下：

{\text{EMA}}={p_{1}+(1-\alpha )p_{2}+(1-\alpha )^{2}p_{3}+(1-\alpha )^{3}p_{4}+\cdots \over 1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}+(1-\alpha )^{3}+\cdots }

理論上這是一個无穷级数，但由於1-α少於1，各項的數值會越來越細，可以被忽略。分母方面，若有足夠多項，則其數值趨向1/α。即，

{\text{EMA}}=\alpha \times \left(p_{1}+(1-\alpha )p_{2}+(1-\alpha )^{2}p_{3}+(1-\alpha )^{3}p_{4}+\cdots \right)

假設k項及以後的項被忽略，即 $\alpha \times \left((1-\alpha )^{k}+(1-\alpha )^{k+1}+\cdots \right)$ $\alpha \times \left((1-\alpha )^{k}+(1-\alpha )^{k+1}+\cdots \right)$ ，重寫後可得 $\alpha \times (1-\alpha )^{k}\times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}\cdots \right)$ $\alpha \times (1-\alpha )^{k}\times \left(1+(1-\alpha )+(1-\alpha )^{2}\cdots \right)$ ，相當於 $(1-\alpha )^{k}$ $(1-\alpha )^{k}$ 。所以，若要包含99.9%的加權，解方程 $k={\log(0.001) \over \log(1-\alpha )}$ $k={\log(0.001) \over \log(1-\alpha )}$ 即可得出k。由於當N不斷增加， $\log \,(1-\alpha )$ $\log \,(1-\alpha )$ 將趨向 $-2 \over N+1$ ${-2 \over N+1}$ ，簡化後k大約等於 $3.45\times (N+1)$ $3.45\times (N+1)$ 。