移動平均

移動平均（英语：Moving Average，MA），又稱「移動平均線」簡稱均線，是技術分析中一種分析时间序列數據的工具。最常見的是利用股價、回報或交易量等變數計算出移動平均。

移動平均可撫平短期波動，反映出長期趨勢或周期。數學上，移動平均可視為一種卷积。

台股加權指數技術線圖：
上圖為K線和其移動平均線（SMA，周期：5,10,20,60,120,240）；
下圖為成交量和其均量（周期：5,20）。

簡單移動平均[编辑]

比較：圖中同時呈現20日移動平均線-SMA、EMA和WMA。

簡單移動平均（英语：Simple Moving Average，SMA）是某變數之前n個數值的未作加權算術平均。例如，收市價的10日簡單移動平均指之前10日收市價的平均數。若設收市價為 $p_1$ 至 $p_n$ ，則方程式為：

$SMA = { p_1 + p_2 + \cdots + p_n \over n }$

當計算連續的數值，一個新的數值加入，同時一個舊數值剔出，所以無需每次都重新逐個數值加起來：

$SMA_{t1} = SMA_{t0} - {p_1 \over n} + {p_{n+1} \over n}$

在技術分析中，有幾個n的數值較為普遍，如10日、40日、200日，視乎分析時期長短而定。投資者冀從移動平均線的圖表中分辨出支持位或阻力位。

加權移動平均[编辑]

加權移動平均（英语：Weighted Moving Average，WMA）指計算平均值時將個別數據乘以不同數值，在技術分析中，n日WMA的最近期一個數值乘以n、次近的乘以n-1，如此類推，一直到0：

$WMA_{M} = { n p_{M} + (n-1) p_{M-1} + \cdots + 2 p_{M-n+2} + p_{M-n+1} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}$

WMA，N=15

由於 $WMA_{M+1}$ 與 $WMA_{M}$ 的分子相差 $n p_{M+1} - p_{M} - \cdots - p_{M-n+1}$ ，假設 $p_{M} + p_{M-1} + \cdots + p_{M-n+1}$ 為總和_M：

總和_M+1 $=$ 總和_M $+ p_{M+1} - p_{M-n+1}$

分子_M+1 $= N_{M+1} =$ 分子_M $+ n p_{M+1} -$ 總和_M

$WMA_{M+1} = { N_{M+1} \over n + (n-1) + \cdots + 2 + 1}$

留意分母為三角形數，方程式為 $n(n+1)\over2$

右圖顯示出加權是隨日子遠離而遞減，直至遞減至零。

指數移動平均[编辑]

EMA，N=15

指數移動平均（英语：Exponential Moving Average，EMA或EWMA）是以指數式遞減加權的移動平均。各數值的加權影響力隨時間而指數式遞減，越近期的數據加權影響力越重，但較舊的數據也給予一定的加權值。右圖是一例子。

加權的程度以常數 α 決定，α 數值介乎 0 至 1。α 也可用天數 N 來代表： $\alpha={2\over{N+1}}$ ，所以，N=19天，代表 α=0.1。

設時間 t 的實際數值為 Y_t，而時間 t 的EMA則為 S_t；時間 t-1 的EMA則為 S_t-1，計算時間 t≥2 是方程式為：^[1]

$S_{t} = \alpha \times Y_{t} + (1-\alpha) \times S_{t-1}$

設今日（t1）價格為 p，則今日（t1）EMA的方程式為：

$\text{EMA}_{t1} = \text{EMA}_{t0} + \alpha \times (p - \text{EMA}_{t0})$

將 $\text{EMA}_{t0}$ 分拆開來如下：

$\text{EMA} = { p_1 + (1-\alpha) p_2 + (1-\alpha)^2 p_3 + (1-\alpha)^3 p_4 + \cdots \over 1 + (1-\alpha) + (1-\alpha)^2 + (1-\alpha)^3 + \cdots }$

理論上這是一個无穷级数，但由於1-α少於1，各項的數值會越來越細，可以被忽略。分母方面，若有足夠多項，則其數值趨向 1/α。即，

$\text{EMA} = \alpha \times \left( p_1 + (1-\alpha) p_2 + (1-\alpha)^2 p_3 + (1-\alpha)^3 p_4 + \cdots \right)$

假設 k 項及以後的項被忽略，即 $\alpha \times \left( (1-\alpha)^k + (1-\alpha)^{k+1} + \cdots \right)$ ，重寫後可得 $\alpha \times (1-\alpha)^k \times \left( 1 + (1-\alpha) + (1-\alpha)^2 \cdots \right)$ ，相當於 $(1-\alpha)^k$ 。所以，若要包含99.9%的加權，解方程 $k={ \log (0.001) \over \log (1-\alpha)}$ 即可得出 k。由於當 N 不斷增加， $\log\,(1-\alpha)$ 將趨向 $-2 \over N+1$ ，簡化後 k 大約等於 $3.45\times(N+1)$ 。