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切比雪夫不等式

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概率論中,切比雪夫不等式英语:Chebyshev's Inequality)顯示了隨機變量的「幾乎所有」值都會「接近」平均。切比雪夫不等式,对任何分布形状的数据都适用。

概念[编辑]

這個不等式以數量化這方式來描述,究竟「幾乎所有」是多少,「接近」又有多接近:

  • 與平均相差2個標準差以上的值,數目不多於1/4
  • 與平均相差3個標準差以上的值,數目不多於1/9
  • 與平均相差4個標準差以上的值,數目不多於1/16

……

  • 與平均相差k個標準差以上的值,數目不多於1/k2

舉例說,若一班有36個學生,而在一次考試中,平均分是80分,標準差是10分,我們便可得出結論:少於50分(與平均相差3個標準差以上)的人,數目不多於2個(=36*1/2*1/9)。
公式:

推论[编辑]

測度論說法[编辑]

設(X,Σ,μ)為一測度空間f為定義在X上的廣義實可測函數。對於任意實數t > 0,

一般而言,若g是非負廣義實值可測函數,在f的定義域非降,則有

上面的陳述,可透過以|f|取代f,再取如下定義而得:

概率論說法[编辑]

為隨機變量,期望值标准差。對於任何實數k>0,

改進[编辑]

一般而言,切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子:

這個分布的標準差

对于任意分布形态的数据,根据切比雪夫不等式,至少有 的数据落在k个标准差之内。其中k>1,但不一定是整数。

當只求其中一邊的值的時候,有Cantelli不等式

[1]

證明[编辑]

定義,設為集指標函數,有

又可從馬爾可夫不等式直接證明:馬氏不等式說明對任意隨機變量Y和正數a。取

亦可從概率論的原理和定義開始證明:

參見[编辑]

参考来源[编辑]

  • 《基本統計學 觀念與應用二版》,林惠玲 陳正倉 著
  • 《應用統計學 第四版》 修訂版,林惠玲 陳正倉 著