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误差

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统计学最优化中,误差(error)和残差(residual)是两个相近但有区别的概念,二者均是统计样本中某一元素的观测值英语observed value与其“真值”(未必可直接观测得到)之间的离差的度量。观察误差是观测值与相关量(例如总体平均值)的真值之间的差值。残差是观测值与统计量的估计值(例如样本均值)之间的差值。这种区别在迴歸分析中至关重要,回归分析中,这些概念有时称为回归误差(regression errors)和回归残差(regression residuals),它们引出了学生化残差英语studentized residual的概念。

计量经济学中,误差也称为扰动(disturbances)。[1][2][3]

简介[编辑]

假设有一系列取自单变量分布英语univariate distribution的观察结果,我们想要估计该分布的平均值。此时,误差是观测值与总体均值的偏差,而残差是观测值与样本均值的偏差。

统计误差(statistical error)是观察值与其期望值的差异程度,而期望值基于随机选择统计单位的总体。例如,如果21岁男性的平均身高为1.75米,而随机选出的一名男性身高为1.80米,则“误差”为0.05米;如果随机选出男性人身高1.70米,则“误差”为-0.05 米。期望值是整个总体的均值,通常是无法观测的,因此统计误差也无从知晓。

残差(residual)是对无法观测的统计误差的可观测估计。在上述的男性身高的例子中,假设我们随机抽取n个人作为样本。样本均值可以很好地估计总体均值。此时:

  • 样本中每个人的身高与无法观测的总体均值之间的差值是统计误差,
  • 样本中每个人的身高与可观测的样本均值之间的差值是残差。

注意,由于样本均值的定义,随机样本内的残差之和必然为零,因此残差必然不是相互独立的。而统计误差是独立的,它们在随机样本中的总和几乎肯定不为零。

统计误差(尤其是正态分布的)的数值可以用標準分數(或“z分数”)来标准化,而残差可以用t统计量英语t-statistic,或更一般的学生化残差英语studentized residuals来标准化。

单变量分布[编辑]

假定有一个均值为μ標準差σ正态分布总体,从中随机选择个体,得到样本:

样本均值

它是一个随机变量分布,服从:

其统计误差为:

期望值为0,[4]而残差为:

统计误差的平方和除以σ2,得到自由度n的卡方分布:

然而,因为总体均值未知,这个数量是不可观测的。但是,残差的平方和是可观测的。该总和除以σ2的商是n - 1自由度的卡方分布:

自由度nn - 1之间的区别是对总体(均值、方差未知)的方差估计值的贝塞尔校正英语Bessel's correction。若总体均值已知,则无需进行校正。

参见[编辑]

参考文献[编辑]

  1. ^ Kennedy, P. A Guide to Econometrics. Wiley. 2008: 576 [2022-05-13]. ISBN 978-1-4051-8257-7. (原始内容存档于2022-07-12). 
  2. ^ Wooldridge, J.M. Introductory Econometrics: A Modern Approach. Cengage Learning. 2019: 57 [2022-05-13]. ISBN 978-1-337-67133-0. (原始内容存档于2022-07-12). 
  3. ^ Das, P. Econometrics in Theory and Practice: Analysis of Cross Section, Time Series and Panel Data with Stata 15.1. Springer Singapore. 2019: 7 [2022-05-13]. ISBN 978-981-329-019-8. (原始内容存档于2022-07-12). 
  4. ^ Wetherill, G. Barrie. Intermediate statistical methods需要免费注册. London: Chapman and Hall. 1981. ISBN 0-412-16440-X. OCLC 7779780. 

外部链接[编辑]