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高斯-马尔可夫定理

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高斯-馬可夫定理(英語:Gauss-Markov Theorem),在統計學中陳述的是在线性回归模型中,如果线性模型满足高斯马尔可夫假定,则回归系数的最佳线性无偏估计BLUE, Best Linear unbiased estimator)就是普通最小二乘法估计

  • 这里最佳的意思是指相较于其他估计量有更小方差估计量,同时把对估计量的寻找限制在所有可能的线性无偏估计量中。
  • 值得注意的是这里不需要假定误差满足同分布或正态分布
  • 线性模型指对于参数是线性的,因此线性模型并非看起来那么有约束性,通过适当的对y与x做变换(如logy与x),可以得到y与x的非线性关系,但并未跳出线性模型的范畴。

表述[编辑]

简单(一元)线性回归模型[编辑]

对于简单(一元)线性回归模型,

其中非随机但不能观测到的参数,非随机且可观测到的一般变量,不可观测的随机变量,或称为随机误差或噪音,可观测的随机变量。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  • 在总体模型中,各变量关系为(线性于参数)
  • 我们具有服从于上述模型的随机样本,样本容量为n(随机抽样),
  • x的样本结果为非完全相同的数值(解释变量的样本有波动),
  • 对于给定的解释变量,误差的期望为零,换言之 (零条件均值),
  • 对于给定的解释变量,误差具有相同的方差,换言之 (同方差性)。

则对的最佳线性无偏估计为,

多元线性回归模型[编辑]

对于多元线性回归模型,

,

使用矩阵形式,线性回归模型可简化记为,其中采用了以下记号:

(观测值向量,Vector of Responses),

(设计矩阵,Design Matrix),

(参数向量,Vector of Parameters),

(随机误差向量,Vectors of Error)。

高斯-马尔可夫定理的假设条件是:

  • (零均值),
  • ,(同方差且不相关),其中为n阶单位矩阵(Identity Matrix)。

则对的最佳线性无偏估计为

证明[编辑]

首先,注意的是这里数据是而非,我们希望找到对于的线性估计量,记作

其中分别是矩阵。

根据零均值假设所得,

其次,我们同时限制寻找的估计量为无偏的估计量,即要求,因此有

零矩阵),

参见[编辑]

外部連結[编辑]